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极限环可以通过显式构造二维系统的径向与角向动力学来得到。考虑极坐标系统 <math>\dot{r} = r(1-r^2),\ \dot{\theta} = 1</math>。径向方程在 <math>r=0</math> 与 <math>r=1</math> 处有平衡点：当 <math>0 < r < 1</math> 时 <math>\dot{r} > 0</math>，轨道向外增长；当 <math>r > 1</math> 时 <math>\dot{r} < 0</math>，轨道向内收缩。因此只要 <math>r \neq 0</math>，径向分量均收敛至 <math>r = 1</math>，单位圆是系统唯一的稳定极限环，除原点外所有轨道均以其为[[ω极限集]]。<ref name="Strogatz" />

极限环可以通过显式构造二维系统的径向与角向动力学来得到。考虑极坐标系统 <math>\dot{r} = r(1-r^2),\ \dot{\theta} = 1</math>。径向方程在 <math>r=0</math> 与 <math>r=1</math> 处有平衡点：当 <math>0 < r < 1</math> 时 <math>\dot{r} > 0</math>，轨道向外增长；当 <math>r > 1</math> 时 <math>\dot{r} < 0</math>，轨道向内收缩。因此只要 <math>r \neq 0</math>，径向分量均收敛至 <math>r = 1</math>，单位圆是系统唯一的稳定极限环，除原点外所有轨道均以其为[[ω极限集]]。<ref name="Strogatz" />

==== Van der Pol 振子 ====

==== [[范德珀尔振子]] ====

[[Image:VanDerPolPhaseSpace.png|none|'''范德波尔振荡器 Van der Pol oscillator''' 的稳定极限环|thumb|300x300像素]]

[[Image:VanDerPolPhaseSpace.png|none|'''范德波尔振荡器 Van der Pol oscillator''' 的稳定极限环|thumb|300x300像素]]

Van der Pol 振子是研究极限环的经典非线性系统，由荷兰物理学家 Balthasar van der Pol 在研究电子管振荡电路时提出：<ref name="vanderPol">van der Pol, B. (1926). On relaxation-oscillations. ''The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science'', 2(11), 978–992.</ref>

[[范德珀尔振子]]是研究极限环的经典[[非线性系统]]，由荷兰物理学家[[Balthasar van der Pol]]在研究电子管振荡电路时提出：<ref name="vanderPol">van der Pol, B. (1926). On relaxation-oscillations. ''The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science'', 2(11), 978–992.</ref>

<math display="block">\ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = 0, \quad \mu > 0</math>

<math display="block">\ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = 0, \quad \mu > 0</math>

原点处线性化矩阵的特征值实部为正，故原点是不稳定焦点。另一方面，通过估计能量函数可以证明轨道被限制在有界环形区域内。由庞加莱–本迪克松定理知该区域内存在极限环，结合唯一性论证可知恰好存在一条，所有非平衡轨道最终趋向该极限环。参数 <math>\mu</math> 较小时振荡近似正弦波；较大时出现[[松弛振荡]]（relaxation oscillation）。<ref name="Strogatz" />

原点处线性化矩阵的特征值实部为正，故原点是不稳定焦点。另一方面，通过估计能量函数可以证明轨道被限制在有界环形区域内。由[[庞加莱–本迪克松定理]]知该区域内存在极限环，结合唯一性论证可知恰好存在一条，所有非平衡轨道最终趋向该极限环。参数 <math>\mu</math> 较小时振荡近似正弦波；较大时出现[[松弛振荡]]（relaxation oscillation）。<ref name="Strogatz" />

=== 极限环的排除方法 ===

=== 极限环的排除方法 ===