更改

其中 <math>\mathcal{P}_{1}(S)=\mathcal{P}(S)\setminus\{\emptyset\}</math>为<math>S</math>的所有非空子集的集合。

其中 <math>\mathcal{P}_{1}(S)=\mathcal{P}(S)\setminus\{\emptyset\}</math>为<math>S</math>的所有非空子集的集合。

此后，我们将用带括号的索引简记<math>\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>的元素，例如：

此后，我们将用带括号的索引简记<math>\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>的元素，例如：

<math>\{\{R_{1},R_{2}\}\}</math>记为<math>\{12\}</math>，<math>\{{R_{1}},\{R_{2}，R_{3}\}\}</math>记为<math>\{1\}\{23\}</math>

<math>\{\{R_{1},R_{2}\}\}</math>记为<math>\{12\}</math>，<math>\{\{R_{1}},\{R_{2}，R_{3}\}\}</math>记为<math>\{1\}\{23\}</math>

通过将上述思路进一步延伸，可在<math>\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>的元素上定义一个偏序<math>\preccurlyeq</math>。

通过将上述思路进一步延伸，可在<math>\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>的元素上定义一个偏序<math>\preccurlyeq</math>。

考虑两个源集合 <math>\alpha,\beta\in\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>，若对每个源

考虑两个源集合 <math>\alpha,\beta\in\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>，若对每个源

\end{equation}

\end{equation}

将此偏序应用于<math>\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>的元素，便得到冗余晶格（redundancy lattice）(见下图展示了三源变量的冗余晶格结构和其对应的韦恩图)，该偏序给出了不同反链之间的包含关系；冗余函数在该偏序上是单调的，进而可通过莫比乌斯反演定义部分信息原子。

将此偏序应用于<math>\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>的元素，便得到冗余晶格（redundancy lattice）(见下图展示了三源变量的冗余晶格结构和其对应的韦恩图)，该偏序给出了不同反链之间的包含关系；冗余函数在该偏序上是单调的，进而可通过莫比乌斯反演定义部分信息原子。

[[文件:674776478.png|替代=|居中|600x600像素|三源变量的信息结构，<math>\{12\}</math>表示<math>\{\{R_{1},R_{2}\}\}</math>，<math>\{1\}\{23\}</math>表示<math>\{{R_{1}},\{R_{2}，R_{3}\}\}</math>，以此类推，引自<ref name="Paul" />]]

[[文件:674776478.png|替代=|居中|600x600像素|三源变量的信息结构，<math>\{12\}</math>表示<math>\{\{R_{1},R_{2}\}\}</math>，<math>\{1\}\{23\}</math>表示<math>\{\{R_{1}},\{R_{2}，R_{3}\}\}</math>，以此类推，引自<ref name="Paul" />]]

下面介绍具体如何构建三源变量的冗余晶格：

下面介绍具体如何构建三源变量的冗余晶格：

首先图中的节点含义类比两源变量系统可做如下近似理解（注：这些节点可在两源变量系统中直观对应特有、冗余、协同成分，但在三源以上不能简单逐字解释为某一种日常意义上的信息类型）：特有信息： <math>\{1\}, \{2\}, \{3\}</math> ；两变量间的冗余信息： <math>\{1\}\{2\}, \{1\}\{3\}, \{2\}\{3\}</math>）；两变量间的协同信息： <math>\{12\}, \{13\}, \{23\}</math>。所有三个变量共同提供的冗余信息： <math>\{1\}\{2\}\{3\}</math>；所有三个变量共同提供的协同信息： <math>\{123\}</math>；一个变量单独提供的信息，与另外两个变量联合提供的信息之间存在的冗余信息： <math>\{1\}\{23\}</math>、<math>\{2\}\{13\}</math> 和 <math>\{3\}\{12\}</math> ；三个两两协同的信息之间存在的冗余信息 ：<math>\{12\}\{13\}\{23\}</math> ；变量12的协同信息和变量23的协同信息间存在的冗余信息：<math>\{12\}\{23\}</math>。

首先图中的节点含义类比两源变量系统可做如下近似理解（注：这些节点可在两源变量系统中直观对应特有、冗余、协同成分，但在三源以上不能简单逐字解释为某一种日常意义上的信息类型）：特有信息： <math>\{1\}, \{2\}, \{3\}</math> ；两变量间的冗余信息： <math>\{1\}\{2\}, \{1\}\{3\}, \{2\}\{3\}</math>）；两变量间的协同信息： <math>\{12\}, \{13\}, \{23\}</math>。所有三个变量共同提供的冗余信息： <math>\{1\}\{2\}\{3\}</math>；所有三个变量共同提供的协同信息： <math>\{123\}</math>；一个变量单独提供的信息，与另外两个变量联合提供的信息之间存在的冗余信息： <math>\{1\}\{23\}</math>、<math>\{2\}\{13\}</math> 和 <math>\{3\}\{12\}</math> ；三个两两协同的信息之间存在的冗余信息 ：<math>\{12\}\{13\}\{23\}</math> ；变量12的协同信息和变量23的协同信息间存在的冗余信息：<math>\{12\}\{23\}</math>。

[[文件:24234234224.png|替代=|居中|771x771像素|三源变量冗余晶格，<math>\{12\}</math>表示<math>\{\{R_{1},R_{2}\}\}</math>，<math>\{1\}\{23\}</math>表示<math>\{{R_{1}},\{R_{2}，R_{3}\}\}</math>，以此类推，引自<ref name="Paul" />]]

[[文件:24234234224.png|替代=|居中|771x771像素|三源变量冗余晶格，<math>\{12\}</math>表示<math>\{\{R_{1},R_{2}\}\}</math>，<math>\{1\}\{23\}</math>表示<math>\{\{R_{1}},\{R_{2}，R_{3}\}\}</math>，以此类推，引自<ref name="Paul" />]]

然后，节点间的连边代表了一种邻接关系。最后，我们可以从三个变量共同提供的冗余信息放在最下层开始，比这个区域多一些信息的区域是两变量间的冗余信息，将这些节点放在上一层并且由于这些节点均来自最底层节点添加了一些信息（即按照上述偏序关系找到这个偏序里比这个区域能提供更多信息的下一个或多个区域），故这三个节点都与最底层的节点间有邻接关系（连边），对节点<math>\{12\}</math>再添加一些信息可以得到节点 <math>\{1\}\{23\}</math>、<math>\{2\}\{13\}</math>故这两个节点与节点<math>\{12\}</math>间有连边。以此类推可以得到完整的三源变量冗余晶格。

然后，节点间的连边代表了一种邻接关系。最后，我们可以从三个变量共同提供的冗余信息放在最下层开始，比这个区域多一些信息的区域是两变量间的冗余信息，将这些节点放在上一层并且由于这些节点均来自最底层节点添加了一些信息（即按照上述偏序关系找到这个偏序里比这个区域能提供更多信息的下一个或多个区域），故这三个节点都与最底层的节点间有邻接关系（连边），对节点<math>\{12\}</math>再添加一些信息可以得到节点 <math>\{1\}\{23\}</math>、<math>\{2\}\{13\}</math>故这两个节点与节点<math>\{12\}</math>间有连边。以此类推可以得到完整的三源变量冗余晶格。