41
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第11行：
第11行： + 第20行：
第21行： − [[文件:二维线性系统不动点分类.png|缩略图|二维线性系统不动点的迹-行列式（Trace-Determinant）分类平面图]] − 如右图所示，以行列式 [math]\Delta[/math] 为横轴，迹 [math]T[/math] 为纵轴，可以将系统所有的定性行为在二维平面上进行直观的几何划分： − + − + − ** 在抛物线'''外部'''（[math]\Delta > 0[/math] 且 [math]T^2 - 4\Delta > 0[/math]），特征值为同号实数，对应于'''结点（Node）'''。+ − ** 在抛物线'''内部'''（[math]\Delta > 0[/math] 且 [math]T^2 - 4\Delta < 0[/math]），特征值为共轭复数，对应于伴随旋转行为的'''焦点（Focus）'''。+ − + − + − + − + − + + + + + + + + + + + +
无编辑摘要
===基于迹—行列式平面的分类===
===基于迹—行列式平面的分类===
[[文件:二维线性系统不动点分类.png|缩略图|Fig.1 二维线性系统不动点的迹-行列式（Trace-Determinant）分类平面图]]
对于二维线性系统，局部几何结构可以由矩阵<math>\displaystyle{ A }</math>的特征值完全刻画。设矩阵<math>\displaystyle{ A }</math>的两个特征值为<math>\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2 }</math>，其迹（Trace）与行列式（Determinant）分别为：
对于二维线性系统，局部几何结构可以由矩阵<math>\displaystyle{ A }</math>的特征值完全刻画。设矩阵<math>\displaystyle{ A }</math>的两个特征值为<math>\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2 }</math>，其迹（Trace）与行列式（Determinant）分别为：
因此，二维线性系统不动点的类型可统一由<math>\displaystyle{ T }</math>、<math>\displaystyle{ \Delta }</math>以及判别式<math>\displaystyle{ T^2-4\Delta }</math>来决定。
因此，二维线性系统不动点的类型可统一由<math>\displaystyle{ T }</math>、<math>\displaystyle{ \Delta }</math>以及判别式<math>\displaystyle{ T^2-4\Delta }</math>来决定。
* '''鞍点（Saddle Point）：''' 当 [math]\Delta < 0[/math]（即左半平面）时，特征值为一正一负的实数。此时系统在某个方向上吸引，在另一个方向上排斥，整体表现为不稳定。
如右图Fig.1 所示，以行列式 [math]\Delta[/math] 为横轴，迹 [math]T[/math] 为纵轴，可以将系统所有的定性行为在二维平面上进行直观的几何划分
* '''抛物线分界线：''' 曲线 [math]T^2 - 4\Delta = 0[/math] 是实数根与复数根的临界线。
*'''鞍点（Saddle Point）：''' 当 [math]\Delta < 0[/math]（即左半平面）时，特征值为一正一负的实数。 此时鞍点在两个特征方向上表现出不同的动力学行为。负特征值对应<nowiki>'''</nowiki>稳定方向<nowiki>'''</nowiki>，该方向上的轨迹随时间逐渐趋近平衡点；正特征值对应<nowiki>'''</nowiki>不稳定方向<nowiki>'''</nowiki>，轨迹则随时间远离平衡 点。由于只有严格位于稳定方向上的轨迹才能收敛到平衡点，而附近的微小扰动通常会使轨迹转向不稳定方向，因此鞍点整体上是不稳定的。例如，系统 [math]\dot{x}=x,\ \dot{y}=-y[/math] 的两个特征值分别为 [math]1[/math] 和 [math]-1[/math]，其中 [math]y[/math] 轴为稳定方向，[math]x[/math] 轴为不稳定方向，其余轨迹呈双曲线形状，由此形成如图Fig.2所示的典型鞍点相图。
* '''稳定与不稳定的分界：''' 对于右半平面（[math]\Delta > 0[/math]），横轴 [math]T = 0[/math] 是判断稳定性的关键。
[[文件:鞍点相图.png|缩略图|Fig.2 鞍点的典型相图：轨迹沿稳定方向趋近平衡点，并沿不稳定方向远离平衡点。]]
** 当 [math]T < 0[/math]（下半平面），系统是'''渐近稳定'''的（稳定结点或稳定焦点），能量逐渐耗散，轨迹最终汇聚于原点。
*'''抛物线分界线：'''
** 当 [math]T > 0[/math]（上半平面），系统是'''不稳定'''的（不稳定结点或不稳定焦点），轨迹向外发散。
** 当 [math]T = 0[/math]（正半横轴），特征值为纯虚数，系统能量守恒，形成围绕原点的闭合周期轨道，即'''中心（Center）'''。下文提到的“相爱相杀”模型正属于此类。
*<nowiki>曲线 [math]T^2-4\Delta=0[/math] 是迹—行列式平面中区分实特征值与复特征值的临界线。由特征值公式 [math]\lambda_{1,2}=\dfrac{T\pm\sqrt{T^2-4\Delta}}{2}[/math] 可知，[math]T^2-4\Delta[/math] 的符号直接决定特征值的类型，因此该曲线将 [math]\Delta>0[/math] 的区域划分为结点区和焦点区。</nowiki>
* '''退化情况：''' 抛物线本身对应着特征值相等的退化结点或星点；而纵轴（[math]\Delta = 0[/math]）对应着存在零特征值的非孤立不动点（即存在一条由平衡点组成的直线）。
*在抛物线'''外部'''，即 [math]\Delta>0[/math] 且 [math]T^2-4\Delta>0[/math] 时，系统具有两个同号的实特征值，对应于'''结点（Node）'''。当 [math]T<0[/math] 时，两个特征值均为负，轨迹沿不同特征方向趋近平衡点，形成稳定结点；当 [math]T>0[/math] 时，两个特征值均为正，轨迹从平衡点向外发散，形成不稳定结点。
*在抛物线'''内部'''，即 [math]\Delta>0[/math] 且 [math]T^2-4\Delta<0[/math] 时，系统具有一对共轭复特征值，对应于具有旋转行为的'''焦点（Focus）'''。复特征值的虚部产生相平面中的旋转运动，而实部 [math]T/2[/math] 决定轨迹是收缩还是发散：当 [math]T<0[/math] 时，轨迹螺旋趋近平衡点，形成稳定焦点；当 [math]T>0[/math] 时，轨迹螺旋远离平衡点，形成不稳定焦点。
*在分界曲线 [math]T^2-4\Delta=0[/math] 上，两个特征值合并为重实根 [math]\lambda_1=\lambda_2=T/2[/math]，系统处于结点与焦点之间的临界状态，通常对应星形结点或退化结点，其具体相图还取决于雅可比矩阵是否具有两个线性无关的特征向量。由此，抛物线不仅区分了轨迹是否具有旋转行为，也给出了结点与焦点之间的动力学分界，如图Fig.3 所示。
*'''稳定与不稳定的分界：''' 对于右半平面（[math]\Delta > 0[/math]），横轴 [math]T = 0[/math] 是判断稳定性的关键。
**当 [math]T < 0[/math]（下半平面），系统是'''渐近稳定'''的（稳定结点或稳定焦点），能量逐渐耗散，轨迹最终汇聚于原点。
**当 [math]T > 0[/math]（上半平面），系统是'''不稳定'''的（不稳定结点或不稳定焦点），轨迹向外发散。
**当 [math]T = 0[/math]（正半横轴），特征值为纯虚数，系统能量守恒，形成围绕原点的闭合周期轨道，即'''中心（Center）'''。下文提到的“相爱相杀”模型正属于此类。
*'''退化情况：''' 抛物线本身对应着特征值相等的退化结点或星点；而纵轴（[math]\Delta = 0[/math]）对应着存在零特征值的非孤立不动点（即存在一条由平衡点组成的直线）。
==经典实例：二维谐振子系统<ref name=":4" />==
==经典实例：二维谐振子系统<ref name=":4" />==