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由于入流是多对一关系，计算大节点的入流方式比较简单，只有一种：直接加和。而出流是一对多关系，所以计算大节点的出流则相对复杂，需要考虑待聚合节点之间的随机游走和状态分布，来计算流向每个节点的概率。我们可以把出流聚合看作对若干行做线性加权平均。

由于入流是多对一关系，计算大节点的入流方式比较简单，只有一种：直接加和。而出流是一对多关系，所以计算大节点的出流则相对复杂，需要考虑待聚合节点之间的随机游走和状态分布，来计算流向每个节点的概率。我们可以把出流聚合看作对若干行做线性加权平均。

===权重一致的平均===

===权重一致的平均===

但是，这种情况只适用于成块的状态划分：由于成块性要求同属一组的微观状态转移到另一组的概率相同，所以这样的平权平均没有问题（成块划分使用任意非负且和为一的权重都会有相同的结果<ref name=":12" /><ref name=":4" />）。但当我们对不成块的状态划分进行平权平均时，会导致宏观和微观的马尔科夫动力学不一致。

但是，这种情况只适用于成块的状态划分：由于成块性要求同属一组的微观状态转移到另一组的概率相同，所以这样的平权平均没有问题（成块划分使用任意非负且和为一的权重都会有相同的结果<ref name=":12" /><ref name=":4" />）。但当我们对不成块的状态划分进行平权平均时，会导致宏观和微观的马尔科夫动力学不一致。

===权重为平稳分布的平均===

===权重为平稳分布的平均===

假设游走已经达到平稳分布<math>\pi</math>，游走粒子处于不同小节点 <math>j</math> 的概率为<math>\pi_j</math>，则聚合节点到外部节点 <math>i</math> 的概率为<math>p_{Mi} = \frac{1}{\sum_{j \in M} \pi_j} \sum_{j \in M} \pi_j\ p_{ji}</math>，而留在聚合节点内部的概率为<math>p_{MM} = \frac{1}{\sum_{j \in M} \pi_j} \sum_{j \in M} \pi_j\sum_{k \in M} p_{jk}</math>。按照平稳分布为权重对若干行做加权平均，得到的行仍会满足加和为一的条件。

假设游走已经达到平稳分布<math>\pi</math>，游走粒子处于不同小节点 <math>j</math> 的概率为<math>\pi_j</math>，则聚合节点到外部节点 <math>i</math> 的概率为<math>p_{Mi} = \frac{1}{\sum_{j \in M} \pi_j} \sum_{j \in M} \pi_j\ p_{ji}</math>，而留在聚合节点内部的概率为<math>p_{MM} = \frac{1}{\sum_{j \in M} \pi_j} \sum_{j \in M} \pi_j\sum_{k \in M} p_{jk}</math>。按照平稳分布为权重对若干行做加权平均，得到的行仍会满足加和为一的条件。

为了说明如何获得简化的TPM，首先定义一个矩阵，称为稳态流矩阵：<math>F_{ij} \equiv \pi_i \cdot P_{ij}, \, \forall i,j \in [1, N],</math>。其中，<math>\pi</math> 是 <math>P</math> 的稳态分布，即满足<math>\pi P = \pi</math>。

为了说明如何获得简化的TPM，首先定义一个矩阵，称为稳态流矩阵：<math>F_{ij} \equiv \pi_i \cdot P_{ij}, \, \forall i,j \in [1, N],</math>。其中，<math>\pi</math> 是 <math>P</math> 的稳态分布，即满足<math>\pi P = \pi</math>。

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将 <math>N'</math> 个 <math>P'_i</math> 拼在一起就能得到最终的 <math>P'</math>。可以证明，这样的粗粒化方案能够保证粗粒化操作和时间演化操作具有可交换性（证明可以参考<ref name="reversibility"/>）。

将 <math>N'</math> 个 <math>P'_i</math> 拼在一起就能得到最终的 <math>P'</math>。可以证明，这样的粗粒化方案能够保证粗粒化操作和时间演化操作具有可交换性（证明可以参考<ref name="reversibility"/>）。

按照该方法进行加和平均，得到的宏观和微观马尔科夫动力学就会满足一致条件。虽然这个方法直观明了，但它的问题在于：在系统演变到平稳分布之前，需要计算每个 <math>t</math> 时刻的状态分布概率 <math>s_j(t)</math>。在达到平稳分布前，直接使用<math>\pi</math>来聚合仍不会满足一致性，因此操作起来比较麻烦；而 HOM 的计算方式则可以解决这个问题。

按照该方法进行加和平均，得到的宏观和微观马尔科夫动力学就会满足一致条件。虽然这个方法直观明了，但它的问题在于：在系统演变到平稳分布之前，需要计算每个 <math>t</math> 时刻的状态分布概率 <math>s_j(t)</math>。在达到平稳分布前，直接使用<math>\pi</math>来聚合仍不会满足一致性，因此操作起来比较麻烦；而 HOM 的计算方式则可以解决这个问题。

===高阶网络聚类 Higher-Order Macronodes (HOM)===

===高阶网络聚类 Higher-Order Macronodes (HOM)===