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'''证明思路：''' 由于能量沿轨迹守恒，每条轨迹都位于 <math>E(\mathbf{x})</math> 的某一[[等高线]]上。在局部极值点附近，等高线是闭合的。又因假设 <math>\mathbf{x}^*</math> 是孤立不动点，故在该点的小邻域内，等高线上不存在其他不动点，因此轨迹必定沿着闭合等高线运动，形成周期轨道。

'''证明思路：''' 由于能量沿轨迹守恒，每条轨迹都位于 <math>E(\mathbf{x})</math> 的某一[[等高线]]上。在局部极值点附近，等高线是闭合的。又因假设 <math>\mathbf{x}^*</math> 是孤立不动点，故在该点的小邻域内，等高线上不存在其他不动点，因此轨迹必定沿着闭合等高线运动，形成周期轨道。

'''内在联系：''' 在一般非线性系统中，线性化分析所得的中心极易因非线性项的扰动而失去闭合性，演化为螺旋收敛或发散的焦点。然而，保守系统固有的能量守恒性质排除了此种演变的可能：若轨迹以螺旋方式趋近或远离不动点，则其守恒量将随时间单调变化，这与守恒量沿轨迹恒定的定义相矛盾。由此推知，只要不动点对应于守恒量的局部极值，其邻近轨迹便被约束于闭合的等高线上，从而保证了非线性中心的存在。

'''内在联系：''' 在一般非线性系统中，线性化分析所得的中心极易因非线性项的扰动而失去闭合性，演化为螺旋收敛或发散的焦点。然而，保守系统固有的能量守恒性质排除了此种演变的可能——若轨迹以螺旋方式趋近或远离不动点，则其守恒量将随时间单调变化，这与守恒量沿轨迹恒定的定义相矛盾。由此推知，只要不动点对应于守恒量的局部极值，其邻近轨迹便被约束于闭合的等高线上，从而保证了非线性中心的存在。

[[文件:保守系统的非线性中心示例图.png|缩略图|图5：双阱系统能量等高线图及其相平面投影|right|360px]]

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