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→混沌水车运动到洛伦兹方程推导
* <math>v</math>：旋转阻尼系数
* <math>v</math>：旋转阻尼系数
=== [[混沌]]水车运动到洛伦兹方程推导 ===
=== [[混沌]]水车运动到洛伦兹方程推导 ===
=== [[混沌]]水车运动到洛伦兹方程推导 ===
1）质量守恒方程
1）质量守恒方程
\frac{\partial m}{\partial t}=Q-Km-\omega\frac{\partial m}{\partial \theta}
\frac{\partial m}{\partial t}=Q-Km-\omega\frac{\partial m}{\partial \theta}
</math>
</math>
符号说明：
* $m(\theta,t)$：角度$\theta$位置水桶内的瞬时水质量
* $t$：物理时间
* $Q$：单位角度上的恒定注水质量流量
* $K$：水桶漏水速率系数
* $\omega$：水车瞬时转动角速度
* $\theta$：水车圆周角坐标
2）力矩平衡
2）力矩平衡
I\dot{\omega}=-\nu\omega + gr\int_0^{2\pi}m(\theta,t)\sin\theta d\theta
I\dot{\omega}=-\nu\omega + gr\int_0^{2\pi}m(\theta,t)\sin\theta d\theta
</math>
</math>
符号说明：
* $I$：水车系统总转动惯量
* $\nu$：转动摩擦阻尼系数
* $g$：重力加速度
* $r$：水车轮盘半径（有量纲物理量）
* $m(\theta,t)$、$\omega$、$\theta$：含义同质量守恒方程
3）傅里叶展开后，仅保留一阶模态，得到[[封闭系统]]：
3）傅里叶展开后，仅保留一阶模态，得到[[封闭系统]]：
\end{cases}
\end{cases}
</math>
</math>
符号说明：
* $a_1$：水质量分布的傅里叶一阶余弦分量，表征水质量沿圆周的不对称分布
* $b_1$：水质量分布的傅里叶一阶正弦分量
* $q_1$：恒定注水对应的一阶模态激励常数
* $\omega$、$K$、$I$、$\nu$、$g$、$r$：含义同前文
4）变量代换后，严格等价于洛伦兹方程：
4）变量代换后，严格等价于洛伦兹方程：
\end{cases}
\end{cases}
</math>
</math>
符号说明：
* $x,y,z$：无量纲化后的洛伦兹系统状态变量
* $\sigma$：无量纲阻尼参数（对应流体中的普朗特数）
* $r$：洛伦兹系统无量纲驱动参数（对应瑞利数，无量纲，与前文物理量$r$含义不同）
* $b$：洛伦兹系统无量纲几何参数
=== [[混沌]]水车物理演化 ===
=== [[混沌]]水车物理演化 ===