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范德珀尔振子（Van der Pol oscillator）是研究[[极限环]][[非线性系统]]的经典实例，其数学模型为一个二阶非线性齐次方程，：[math]\displaystyle{ \ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = 0, \quad \mu \gt 0 }[/math]
范德珀尔振子（Van der Pol oscillator）是研究[[极限环]][[非线性系统]]的经典实例，其数学模型为一个二阶非线性齐次方程，：[math]\displaystyle{ \ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = 0, \quad \mu \gt 0 }[/math]
##历史
##历史
范德珀尔振子是极限环理论发展历程的一个重要发现，作为非线性动力学系统的一个典型案例，于1920年被时任飞利浦公司的电气工程师巴尔塔萨·范德珀尔在研究[[真空电子管]][[振荡电路]]时提出[8]，该模型最初用于描述早期无线电设备中三极管电路的自持振荡现象，其电路是一个由电感器、电容器和非线性电阻器组成的非线性电路，是首个被深入研究的“自激振荡”非线性模型，开创了“非线性震荡”的系统性研究方法，也间接催生了后续混沌理论的诞生。
范德珀尔振子是极限环理论发展历程的一个重要发现，作为非线性动力学系统的一个典型案例，于1920年被时任飞利浦公司的电气工程师巴尔塔萨·范德珀尔在研究[[真空电子管]][[振荡电路]]时提出[8]，该模型最初用于描述早期无线电设备中三极管电路的自持振荡现象，其电路是一个由电感器、电容器和非线性电阻器组成的非线性电路，是首个被深入研究的“自激振荡”非线性模型。范德珀尔在研究该系统时开创性地提出了驰豫振荡（张弛振荡，relaxation oscillation）这一概念，并系统阐述了此现象；同时，也开创了“非线性震荡”的系统性研究方法，范德珀尔在研究此系统中引入了平均法，他与Van der Mark 于1927年在《Nature》上发表了关于“不规则噪声”的报告，后被公认为混沌现象最早的实验观察之一；此外，该发现还间接催生了后续混沌理论的诞生。
##主要内容
##主要内容
1.数学模型
1.数学模型
##应用与实例
##应用与实例
##推导过程
#电子电器领域的应用
#范德珀尔振子的发现，即是在电子电气领域
#生物医学领域的应用
##催生混沌理论的诞生 范德珀尔振子及受迫范德珀尔振子呈现的分叉性质，为最初被人类观测到的混沌现象之一，叩开了混沌世界的大门，后续基于此系统的相关研究，使混沌理论进一步发展，如1945年英国数学家卡特赖特（M.Cartwright）和李特伍德（J.Littlewood）在对受迫范德珀尔振子的研究中，在理论层面首次证明受迫范德珀尔方程存在奇异解，预示了混沌的可能性。随后，日本学者上田睆亮（Ueda Yoshisuke）于1961年首次在模拟计算机上观察到混沌吸引子，随着后续研究的深入，混沌理论的面纱也逐渐被科学家们所揭晓。
###推导过程
##参考文献
##参考文献