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===其余信息原子计算===

===其余信息原子计算===

[[冗余晶格]]中每个节点所关联的冗余信息，不仅包含所有低于它的节点所提供的冗余信息，还可能包含更多。因此，沿着冗余晶格从下到上移动,<math>I_{\min}</math>可视为一种“累积信息函数”，它对越来越大，越来越包容的源集合所提供的信息进行累积。根据上述，两源变量的情况下我们很容易将交互信息分解为基本信息原子（即[[特有]]，[[冗余]]，[[协同]]三部分）并计算出其具体值，但对多个源变量我们需要使用<math>I_{\min}</math>的一个逆函数，称为[[部分信息函数]]（PI-function）来找到基本信息原子。对于源集合<math>\alpha\in\mathcal{A}(\mathbf{R})</math>，部分信息函数记为<math>\Pi_{\mathbf{R}}</math>，并由下式定义：

[[冗余晶格]]中每个节点所关联的冗余信息，不仅包含所有低于它的节点所提供的冗余信息，还可能包含更多。因此，沿着冗余晶格从下到上移动,<math>I_{\min}</math>可视为一种“累积信息函数”，它对越来越大，越来越包容的源集合所提供的信息进行累积。根据上述，两源变量的情况下我们很容易将交互信息分解为基本信息原子（即[[特有]]，[[冗余]]，[[协同]]三部分）并计算出其具体值，但对多个源变量我们需要使用<math>I_{\min}</math>的一个逆函数，称为[[部分信息函数]]（PI-function）来找到基本信息原子。对于源集合<math>\alpha\in\mathcal{A}(S)</math>，部分信息函数记为<math>\Pi_S</math>，并由下式定义：

\begin{equation}

\begin{equation}

I_{\min}(S;\alpha)

I_{\min}(T;\alpha)

=\sum_{\beta\preccurlyeq\alpha}\Pi_{\mathbf{R}}(S;\beta).

=\sum_{\beta\preccurlyeq\alpha}\Pi_S(T;\beta).

\end{equation}

\end{equation}

形式上，<math>\Pi_{\mathbf{R}}</math> 对应于<math>I_{\min}</math>的[[莫比乌斯反演]]。由该关系可递归计算<math>\Pi_{\mathbf{R}}</math>：

形式上，<math>\Pi_S</math> 对应于<math>I_{\min}</math>的[[莫比乌斯反演]]。由该关系可递归计算<math>\Pi_T</math>：

\begin{equation}

\begin{equation}

\Pi_{\mathbf{R}}(S;\alpha)

\Pi_{\mathbf{R}}(S;\alpha)

对于两源变量情形<math>\mathbf{R}=\{R_{1},R_{2}\}</math>，<math>I(S;R_{1})=\Pi_{\mathbf{R}}(S;\{1\})+\Pi_{\mathbf{R}}(S;\{1\}\{2\})</math>,<math>

对于两源变量情形<math>\mathbf{R}=\{R_{1},R_{2}\}</math>，<math>I(S;R_{1})=\Pi_{\mathbf{R}}(S;\{1\})+\Pi_{\mathbf{R}}(S;\{1\}\{2\})</math>,<math>

I(S;R_{1},R_{2})=\Pi_{\mathbf{R}}(S;\{1\})+\Pi_{\mathbf{R}}(S;\{2\})+\Pi_{\mathbf{R}}(S;\{1\}\{2\})+\Pi_{\mathbf{R}}(S;\{12\})</math>。与上文对比，可立即看出每个部分信息项的含义：[[冗余]]信息：<math>\Pi_{\mathbf{R}}(S;\{1\}\{2\})=I_{\min}(S;\{1\}\{2\})</math>，即 <math>R_{1} </math>与 <math>R_{2} </math>的冗余。[[特有]]信息：<math>\Pi_{\mathbf{R}}(S;\{1\})=I(S;R_{1})-I_{\min}(S;\{1\}\{2\})</math>，即 <math>R_{1} </math>的总信息减去[[冗余]]部分；对 <math>R_{2}</math>同理。[[协同]]信息：<math>\Pi_{\mathbf{R}}(S;\{12\})</math> 表示 <math>R_{1}</math>与 <math>R_{2}</math>联合后多出来的那部分信息，即[[协同]]。

I(S;R_{1},R_{2})=\Pi_{\mathbf{R}}(S;\{1\})+\Pi_{\mathbf{R}}(S;\{2\})+\Pi_{\mathbf{R}}(S;\{1\}\{2\})+\Pi_{\mathbf{R}}(S;\{12\})</math>。与上文对比，可立即看出每个部分信息项的含义：[[冗余]]信息：<math>\Pi_{\mathbf{R}}(S;\{1\}\{2\})=I_{\min}(S;\{1\}\{2\})</math>，即 <math>R_{1} </math>与 <math>R_{2} </math>的冗余。[[特有]]信息：<math>\Pi_{\mathbf{R}}(S;\{1\})=I(S;R_{1})-I_{\min}(S;\{1\}\{2\})</math>，即 <math>R_{1} </math>的总信息减去[[冗余]]部分；对 <math>R_{2}</math>同理。[[协同]]信息：<math>\Pi_{\mathbf{R}}(S;\{12\})</math> 表示 <math>R_{1}</math>与 <math>R_{2}</math>联合后多出来的那部分信息，即[[协同]]。

===其余信息原子计算实例===

===其余信息原子计算实例===

[[文件:图片3476.png|替代=|居中|600x600像素|<math>S\in\{0,1,2\}</math>和<math>R_1,R_2\in\{0,1\}</math>的示例概率分布，黑色方格表示等概率的结果，白色方格表示零概率的结果,引自<ref name="Paul" />]]

[[文件:图片3476.png|替代=|居中|600x600像素|<math>S\in\{0,1,2\}</math>和<math>R_1,R_2\in\{0,1\}</math>的示例概率分布，黑色方格表示等概率的结果，白色方格表示零概率的结果,引自<ref name="Paul" />]]