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# '''可计算性'''：<math>\phi</math> 是可计算的部分函数。

# '''可计算性'''：<math>\phi</math> 是可计算的部分函数。

* '''证明思路'''（两分钟版）：从"处处无定义的空函数"出发，反复应用 <math>\Psi</math>：<math>\phi_0</math> = 空，<math>\phi_1 = \Psi(\phi_0)</math>，<math>\phi_2 = \Psi(\phi_1),\ldots\ldots</math>。单调性保证这个序列不断"变长"（每次迭代只增不减）；有限性保证最终收敛到一个函数 <math>\phi</math>，且 <math>\Psi(\phi) = \phi</math>；"每一步都是机械操作"保证 <math>\phi</math> 整体可计算。取所有 <math>\phi_n</math>的并就是答案<ref name="rogers1967" />。

'''证明思路'''：从"处处无定义的空函数"出发，反复应用 <math>\Psi</math>：<math>\phi_0</math> = 空，<math>\phi_1 = \Psi(\phi_0)</math>，<math>\phi_2 = \Psi(\phi_1),\ldots\ldots</math>。单调性保证这个序列不断"变长"（每次迭代只增不减）；有限性保证最终收敛到一个函数 <math>\phi</math>，且 <math>\Psi(\phi) = \phi</math>；"每一步都是机械操作"保证 <math>\phi</math> 整体可计算。取所有 <math>\phi_n</math>的并就是答案<ref name="rogers1967" />。

* '''例子'''：方程组 <math>\phi(1) = 2</math>，<math>\phi(2x) = 2\phi(x)</math> 对应一个递归算子，其最小不动点是：<math>\phi(x) = x</math>（当 <math>x</math> 是 2 的幂），其余输入无定义。注意"最小性"自动处理了定义不完整的分支——机器在"非 2 的幂"上自然发散<ref name="rogers1967" />。

'''例子'''：方程组 <math>\phi(1) = 2</math>，<math>\phi(2x) = 2\phi(x)</math> 对应一个递归算子，其最小不动点是：<math>\phi(x) = x</math>（当 <math>x</math> 是 2 的幂），其余输入无定义。注意"最小性"自动处理了定义不完整的分支——机器在"非 2 的幂"上自然发散<ref name="rogers1967" />。

=== 意义：递归定义的"存在性定理" ===

=== 意义：递归定义的"存在性定理" ===