3,094
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第12行：
第12行： − − 两个定理的对照表（其中涉及的符号会在第二节逐一解释，此处可先跳过细节）： − − {| class="wikitable" − |- − ! − ! '''第一递归定理'''（First Recursion Theorem, FRT） − ! '''第二递归定理'''（Second Recursion Theorem, SRT） − |- − | '''作用对象''' − | 函数本身（"把函数变成函数"的规则） − | 程序的编号（代码） − |- − | '''结论''' − | 任何可计算的函数变换规则 <math>\Psi</math> 都有最小[[不动点]] <math>\phi</math>，且 <math>\phi</math> 是可计算的：<math>\Psi(\phi) = \phi</math> − | 任何可计算的程序变换规则 <math>f</math> 都有不动点 <math>n</math>：程序 <math>n</math> 与程序 <math>f(n)</math> 计算同一个函数，记作 <math>\phi_n = \phi_{f(n)}</math> − |- − | '''数学血统''' − | [[序理论]]中 [[Knaster–Tarski 不动点定理]]的"可计算版本"<ref name="rogers1967" /> − | [[对角线方法]]（diagonalization，[[Cantor]]、[[Gödel]]、[[Turing]] 用过的同一种论证技术）的集大成者<ref name="rogers1967" /> − |- − | '''别称''' − | 弱递归定理 − | 强递归定理、Kleene 不动点定理 − |- − | '''首次出现''' − | Kleene (1952)《元数学导论》中明确表述<ref name="kleene1952">Kleene, S. C. (1952). ''Introduction to Metamathematics''. D. Van Nostrand.【第一递归定理的明确表述】</ref><ref name="moschovakis2010" /> − | Kleene (1938) §2 末尾，当时甚至没有名字，证明只有两行<ref name="kleene1938" /> − |} − [[文件:两种“不动点”.png|替代=两种“不动点”|缩略图|图2：两个定理的"不动点"含义截然不同——左：函数 <math>\phi</math>经变换<math>\Psi</math> 后变回 <math>\phi</math>（函数层面）；右：程序 <math>n</math> 经变换 <math>f</math> 后变成另一个程序 <math>f(n)</math>（通常<math> f(n) \neq n</math>），但<math>\phi_n = \phi_{f(n)}</math>（'''代码变了，行为不变'''）。§2.5 对此有详细辨析。]] − − 第二递归定理被 [[Yiannis N. Moschovakis|Moschovakis]] 称为 '''"令人惊叹的"（amazing）'''——他的综述标题就叫 ''Kleene's Amazing Second Recursion Theorem''<ref name="moschovakis2010" />；计算机科学家 Neil Jones 称之'''"可计算性的瑞士军刀"（A Swiss Pocket Knife for Computability）'''〔转引自 Kiselyov<ref name="kiselyov">'''Kiselyov, O.''' ''Kleene Second Recursion Theorem: A Functional Pearl''.【<math>\lambda</math> 演算/函数式编程视角；quine、twine、性能分析；Unix `cat` 例子出处】</ref>, §1〕。它的一行证明看似只是个小技巧，却支撑了从 [[哥德尔|Gödel]] 不完备定理到[[序数]]理论、从程序自复制到有效[[描述集合论]]的庞大理论大厦（详见第五、六节）。
无编辑摘要
'''第一递归定理（日常语言版）'''：''任何递归定义——即把一个函数在某处的值，写成它自己在其他输入上的值（比如阶乘 <math>fac(n) = n\cdot fac(n−1)</math>）——都必然有解'' ，而且其中"最小"的那个解一定能被机器算出。换句话说，'''机械式的递归定义永远合法、永远有解'''。<ref name="rogers1967" />
'''第一递归定理（日常语言版）'''：''任何递归定义——即把一个函数在某处的值，写成它自己在其他输入上的值（比如阶乘 <math>fac(n) = n\cdot fac(n−1)</math>）——都必然有解'' ，而且其中"最小"的那个解一定能被机器算出。换句话说，'''机械式的递归定义永远合法、永远有解'''。<ref name="rogers1967" />