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: <math>H_\lambda = \cup_n H_{\lambda_n}</math>　（极限层：把下面各层沿一条可计算上升的序列 <math>\lambda_0 < \lambda_1 < \lambda_2 < \ldots</math> 并起来——'''沿哪条序列取并由 <math>\lambda</math> 的代号给出'''，[[#6.1|5.8.1]] 里"记号携带程序编号"的约定在此派上用场）

: <math>H_\lambda = \cup_n H_{\lambda_n}</math>　（极限层：把下面各层沿一条可计算上升的序列 <math>\lambda_0 < \lambda_1 < \lambda_2 < \ldots</math> 并起来——'''沿哪条序列取并由 <math>\lambda</math> 的代号给出'''，[[#6.1|5.8.1]] 里"记号携带程序编号"的约定在此派上用场）

在某一层 <math>H_\alpha</math> 中可计算的集合，称为'''[[超算术的]]（hyperarithmetical, HYP）'''。这栋楼的前几层串起熟悉的图景：'''只盖有穷多层，得到的恰好是通常的算术层级'''——穷尽一阶算术（量词只作用于自然数）可定义的全部集合；盖到第 <math>\omega</math> 层（<math>\omega</math> 即 [[#6.1|5.8.1]] 中最小的无穷序数），得到的集合已足以一举判定[[皮亚诺公理]]体系的全部真语句——包括所有皮亚诺公理体系证明不了的真命题（对照 [[#哥德尔第一不完备定理（1931）|5.7.4]] 的不完备性）；而楼并不停在这里，它沿构造序数一直盖到 <math>\omega_1^CK</math> 为止。HYP 因此是真正高于算术层级的层级——至于它究竟高到哪一步（恰好等价于一个"二阶量词"的定义能力），正是 [[#6.4|5.8.4]] 的主题<ref name="moschovakis2010" />。

在某一层 <math>H_\alpha</math> 中可计算的集合，称为'''[[超算术的]]（hyperarithmetical, HYP）'''。这栋楼的前几层串起熟悉的图景：'''只盖有穷多层，得到的恰好是通常的算术层级'''——穷尽一阶算术（量词只作用于自然数）可定义的全部集合；盖到第 <math>\omega</math> 层（<math>\omega</math> 即 [[#6.1|5.8.1]] 中最小的无穷序数），得到的集合已足以一举判定[[皮亚诺公理]]体系的全部真语句——包括所有皮亚诺公理体系证明不了的真命题（对照 [[#哥德尔第一不完备定理（1931）|5.7.4]] 的不完备性）；而楼并不停在这里，它沿构造序数一直盖到 <math>\omega_1^CK</math> 为止。HYP 因此是真正高于算术层级的层级——至于它究竟高到哪一步（恰好等价于一个"二阶量词"的定义能力），正是 [[#超算术集与有效描述集合论|5.8.4]] 的主题<ref name="moschovakis2010" />。

问题来了：同一序数 <math>\alpha</math> 在系统中有'''无穷多个代号'''，用不同代号构造出的 <math>H_\alpha</math> 会不会不同？

问题来了：同一序数 <math>\alpha</math> 在系统中有'''无穷多个代号'''，用不同代号构造出的 <math>H_\alpha</math> 会不会不同？