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===模型的推导过程===

===模型的推导过程===

我们可通过如下步骤来探究：考虑如图所示的RLC电路：它由电感L、电容器C、电阻R组成，我们假设电压源是电池（[math]\displaystyle{ E(t)=E }[/math]常数）。当电池开关关闭时，根据基尔霍夫电压定律：

我们可通过如下步骤来探究：考虑如图所示的RLC电路：它由电感L、电容器C、电阻R组成，我们假设电压源是电池（[math]\displaystyle{ E(t)=E }[/math]常数）。当电池开关关闭时，根据基尔霍夫电压定律：

[math]\displaystyle{ L I' + R I + \frac{1}{C} Q = E }[/math]

[math]\displaystyle{ L I' + R I + \frac{1}{C} Q = E }[/math]

电路中开始流动电流 [math]\displaystyle{ I(t) }[/math]，其中Q作为电容器中的电荷，其一阶导数等于I。如果我们对等式两边求导，我们将得到式：

电路中开始流动电流 [math]\displaystyle{ I(t) }[/math]，其中Q作为电容器中的电荷，其一阶导数等于I。如果我们对等式两边求导，我们将得到式：

[math]\displaystyle{ L I'' + R I' + \frac{1}{C} I = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ L I'' + R I' + \frac{1}{C} I = 0 }[/math]

这是一个具有恒定系数的二阶线性常微分方程，它表示一个阻尼谐波振荡器。

这是一个具有恒定系数的二阶线性常微分方程，它表示一个阻尼谐波振荡器。

然而，范德珀尔考虑的电路显示的是有源元件（真空管阵列-半导体），而不是无源电阻。通过这种方式，当电流低时，半导体就像在系统中泵送能量一样，当电流过高时，半导体会抑制系统的能量。能量注入和能量吸收之间的相互作用导致电压和电流的周期性振荡。半导体的作用由函数 [math]\displaystyle{ I^2 - \alpha }[/math] 所刻画，其中 \alpha 是电流的阈值水平，电流的方程变成下式：

然而，范德珀尔考虑的电路显示的是有源元件（真空管阵列-半导体），而不是无源电阻。通过这种方式，当电流低时，半导体就像在系统中泵送能量一样，当电流过高时，半导体会抑制系统的能量。能量注入和能量吸收之间的相互作用导致电压和电流的周期性振荡。半导体的作用由函数 [math]\displaystyle{ I^2 - \alpha }[/math] 所刻画，其中 \alpha 是电流的阈值水平，电流的方程变成下式：

[math]\displaystyle{ L I' + (I^2 - \alpha)I + \frac{1}{C} Q = E }[/math]

[math]\displaystyle{ L I' + (I^2 - \alpha)I + \frac{1}{C} Q = E }[/math]

为了简单起见，我们假设没有外部电压源。通过取方程两侧的导数，我们确实得到了范德珀尔振子的方程：

为了简单起见，我们假设没有外部电压源。通过取方程两侧的导数，我们确实得到了范德珀尔振子的方程：

[math]\displaystyle{ L I'' + 3 I' \left(I^2 - \frac{\alpha}{3}\right) + \frac{1}{C} I = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ L I'' + 3 I' \left(I^2 - \frac{\alpha}{3}\right) + \frac{1}{C} I = 0 }[/math]

自引入以来，范德波尔方程一直被用作物理学、电子学、生物学、神经学、社会学和经济学中振荡过程的基本模型。该模型很快被推广为受迫范德珀尔振子系统。

自引入以来，范德波尔方程一直被用作物理学、电子学、生物学、神经学、社会学和经济学中振荡过程的基本模型。该模型很快被推广为受迫范德珀尔振子系统。

==延伸==

==延伸==

===受迫范德珀尔振子===

===受迫范德珀尔振子===