更改

当\mu从小于零移动到大于零时，原点的螺旋汇变成了螺旋源，一个极限周期骤然出现，半径为2。这是因为过渡不是通用的：当 [math]\displaystyle{ \mu = 0 }[/math] 时，微分方程变成线性，原点变成中心（Center）（而非节点）。

当\mu从小于零移动到大于零时，原点的螺旋汇变成了螺旋源，一个极限周期骤然出现，半径为2。这是因为过渡不是通用的：当 [math]\displaystyle{ \mu = 0 }[/math] 时，微分方程变成线性，原点变成中心（Center）（而非节点）。

在霍普夫分叉中，极限环应当具有正比于 [math]\displaystyle{ \varepsilon^{1/2} }[/math] 的振幅，现令 [math]\displaystyle{ \varepsilon = \mu }[/math]，我们可能会尝试使用变量的变化 [math]\displaystyle{ u = \mu^{1/2} x }[/math] 将范德珀尔振子转换为霍普夫分叉，得到：

在霍普夫分叉中，极限环应当具有正比于 [math]\displaystyle{ \varepsilon^{1/2} }[/math] 的振幅，现令 [math]\displaystyle{ \varepsilon = \mu }[/math]，我们可能会尝试使用变量的变化 [math]\displaystyle{ u = \mu^{1/2} x }[/math] 将范德珀尔振子转换为霍普夫分叉，得到：

[math]\displaystyle{ \ddot{u} + u + u^2 \dot{u} - \varepsilon \dot{u} = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \ddot{u} + u + u^2 \dot{u} - \varepsilon \dot{u} = 0 }[/math]

此式即为一个霍普夫分叉的模型。

此式即为一个霍普夫分叉的模型。

===量子物理领域——范德珀尔振子的哈密顿量===

===量子物理领域——范德珀尔振子的哈密顿量===

人们还可以为范德波尔振荡器编写一个与时间无关的哈密顿形式，方法是使用辅助二阶非线性微分方程将其增强为四维自主动力系统，如下所示：

人们还可以为范德波尔振荡器编写一个与时间无关的哈密顿形式，方法是使用辅助二阶非线性微分方程将其增强为四维自主动力系统，如下所示：