更改

* '''函数层面的不动点'''（[[#第一递归定理（FRT）|第一递归定理]]）：变换规则 <math>\Psi</math> 把函数 <math>\phi</math> 变成新函数 <math>\Psi(\phi)</math>；若 <math>\Psi(\phi) = \phi</math>（作为函数处处相等），<math>\phi</math> 就是 <math>\Psi</math> 的不动点。这与分析学中"<math>f(x) = x</math> 的解"同类。

* '''函数层面的不动点'''（[[#第一递归定理（FRT）|第一递归定理]]）：变换规则 <math>\Psi</math> 把函数 <math>\phi</math> 变成新函数 <math>\Psi(\phi)</math>；若 <math>\Psi(\phi) = \phi</math>（作为函数处处相等），<math>\phi</math> 就是 <math>\Psi</math> 的不动点。这与分析学中"<math>f(x) = x</math> 的解"同类。

* '''代码层面的不动点'''（第二递归定理）：变换规则 <math>f</math> 把程序编号 <math>n</math> 变成新编号 <math>f(n)</math>；'''注意 <math>f(n)\neq n</math> 通常成立'''——程序代码确实变了；但神奇的是，新程序 <math>f(n)</math> 和旧程序 <math>n</math> '''计算的函数相同'''：<math>\phi_n = \phi_{f(n)}</math>。所以"不动"的不是代码，而是'''代码的行为'''。[[Hartley Rogers, Jr|Rogers]] 为此特意造了"'''不动点值'''（fixed-point value）"一词，强调它不是数值不动点<ref name="rogers1967" />。

* '''代码层面的不动点'''（[[#第二递归定理（SRT）|第二递归定理]]）：变换规则 <math>f</math> 把程序编号 <math>n</math> 变成新编号 <math>f(n)</math>；'''注意 <math>f(n)\neq n</math> 通常成立'''——程序代码确实变了；但神奇的是，新程序 <math>f(n)</math> 和旧程序 <math>n</math> '''计算的函数相同'''：<math>\phi_n = \phi_{f(n)}</math>。所以"不动"的不是代码，而是'''代码的行为'''。[[Hartley Rogers, Jr|Rogers]] 为此特意造了"'''不动点值'''（fixed-point value）"一词，强调它不是数值不动点<ref name="rogers1967" />。

== 历史背景 ==

== 历史背景 ==