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→范畴论版本的Lawvere定理
'''Lawvere定理（范畴论版本）'''：设 <math>\mathcal{C}</math> 为任意[[笛卡尔闭范畴]]（Cartesian closed category, CCC），<math>A</math> 和 <math>Y</math> 是 <math>\mathcal{C}</math> 中的任意对象。
'''Lawvere定理（范畴论版本）'''：设 <math>\mathcal{C}</math> 为任意[[笛卡尔闭范畴]]（Cartesian closed category, CCC），<math>A</math> 和 <math>Y</math> 是 <math>\mathcal{C}</math> 中的任意对象。
如果存在[[弱点满射]][[态射]]:
如果存在[[弱点满射]][[态射]]:
:<math>g : A \to Y^A</math>
:<math>f : A \to Y^A</math>
（即对每一个态射 <math>f : A \to Y</math>，都存在点 <math>x : 1 \to A</math>，使得 <math>x</math> 与 <math>g</math> 的复合恰好是 <math>f</math> 对应的指数对象点 <math>\ulcorner f \urcorner : 1 \to Y^A</math>，这里<math>Y^A</math>为指数对象，包含了所有从<math>A</math>到<math>Y</math>的态射），则对象 <math>Y</math> 具有'''不动点性质'''：对任意自态射 <math>t : Y \to Y</math>，都存在点 <math>z : 1 \to Y</math>，满足:
（即对每一个态射 <math>g : A \to Y</math>，都存在点 <math>x : 1 \to A</math>，使得 <math>x</math> 与 <math>f</math> 的复合恰好是 <math>g</math> 对应的指数对象点 <math>\ulcorner g \urcorner : 1 \to Y^A</math>，这里<math>Y^A</math>为指数对象，包含了所有从<math>A</math>到<math>Y</math>的态射），则对象 <math>Y</math> 具有'''不动点性质'''：对任意自态射 <math>\alpha : Y \to Y</math>，都存在点 <math>t : 1 \to Y</math>，满足:
:<math>t(z) = z</math>
:<math>\alpha(t) = t</math>
其逆否命题等价于：若 <math>Y</math> 上存在没有不动点的自态射，则不存在从 <math>A</math> 到 <math>Y^A</math> 的弱点满射。
其逆否命题等价于：若 <math>Y</math> 上存在没有不动点的自态射，则不存在从 <math>A</math> 到 <math>Y^A</math> 的弱点满射。
#: <math>\mathcal{C}(A \times X, Y) \cong \mathcal{C}(X, Y^A)</math>
#: <math>\mathcal{C}(A \times X, Y) \cong \mathcal{C}(X, Y^A)</math>
#: 即二元态射与“返回函数的一元态射”一一对应。从右向左的逆变换称为'''逆柯里化'''（逆<math>\lambda</math>变换）。
#: 即二元态射与“返回函数的一元态射”一一对应。从右向左的逆变换称为'''逆柯里化'''（逆<math>\lambda</math>变换）。
# '''弱点满射'''：态射 <math>g : A \to Y^A</math> 称为'''弱点满射'''，当且仅当：对任意一元态射 <math>f : A \to Y</math>，都存在点 <math>y : 1 \to A</math>，使得对所有点 <math>a : 1 \to A</math>，都有
# '''弱点满射'''：态射 <math>f : A \to Y^A</math> 称为'''弱点满射'''，当且仅当：对任意一元态射 <math>g : A \to Y</math>，都存在点 <math>y : 1 \to A</math>，使得对所有点 <math>a : 1 \to A</math>，都有
#: <math>\langle a, y \rangle \cdot \bar{g} = a \cdot f</math>
#: <math>\langle a, y \rangle \cdot \bar{f} = a \cdot f</math>
#: 其中 <math>\bar{g} : A\times A \to Y</math> 是 <math>g</math> 的逆柯里化。
#: 其中 <math>\bar{f} : A\times A \to Y</math> 是 <math>g</math> 的逆柯里化。
#: 直观含义：所有从 <math>A</math> 到 <math>Y</math> 的一元函数，都可以被 <math>A</math> 中的某个点 <math>y</math> 通过通用二元函数 <math>\bar{g}</math> 表示。
#: 直观含义：所有从 <math>A</math> 到 <math>Y</math> 的一元函数，都可以被 <math>A</math> 中的某个点 <math>y</math> 通过通用二元函数 <math>\bar{f}</math> 表示。
详细证明：
详细证明：
* 步骤1：逆柯里化得到通用二元态射
* 步骤1：逆柯里化得到通用二元态射
*: 根据指数伴随的柯里化同构，态射 <math>g : A \to Y^A</math> 唯一对应一个二元态射 <math>\bar{g} : A \times A \to Y</math>（称为 <math>g</math> 的逆柯里化），满足：
*: 根据指数伴随的柯里化同构，态射 <math>f : A \to Y^A</math> 唯一对应一个二元态射 <math>\bar{f} : A \times A \to Y</math>（称为 <math>f</math> 的逆柯里化），满足：
*: <math>\bar{g} = (A \times g) \cdot \epsilon_A</math>
*: <math>\bar{f} = (A \times f) \cdot \epsilon_A</math>
*: 其中 <math>A \times g</math> 是积函子作用在态射 <math>g</math> 上的结果。
*: 其中 <math>A \times f</math> 是积函子作用在态射 <math>f</math> 上的结果。
*: 直观上，<math>\bar{g}</math> 是范畴内部的“通用解释器”：第一个参数是输入值，第二个参数是函数的编码，输出函数作用在输入上的结果。
*: 直观上，<math>\bar{f}</math> 是范畴内部的“通用解释器”：第一个参数是输入值，第二个参数是函数的编码，输出函数作用在输入上的结果。
* 步骤2：构造对角线复合函数
* 步骤2：构造对角线复合函数
*: 取对角态射 <math>\delta_A : A \to A \times A</math>，将其与 <math>\bar{g}</math>、<math>t</math> 依次复合，得到一元态射 <math>f : A \to Y</math>：
*: 取对角态射 <math>\delta_A : A \to A \times A</math>，将其与 <math>\bar{f}</math>、<math>t</math> 依次复合，得到一元态射 <math>g : A \to Y</math>：
*: <math>f = \delta_A \cdot \bar{g} \cdot t</math>
*: <math>g = \delta_A \cdot \bar{f} \cdot \alpha</math>
*: 对任意点 <math>x : 1 \to A</math>，<math>f</math> 的作用可展开为：
*: 对任意点 <math>x : 1 \to A</math>，<math>g</math> 的作用可展开为：
*: <math>x \cdot f = t\left( \langle x, x \rangle \cdot \bar{g} \right)</math>
*: <math>x \cdot g = \alpha\left( \langle x, x \rangle \cdot \bar{f} \right)</math>
*: 其含义是：先将输入 <math>x</math> 复制一份，同时作为 <math>\bar{g}</math> 的两个参数代入（对角线操作），再将计算结果用 <math>t</math> 做变换。这是整个证明的核心——抽象的对角线自指代入。
*: 其含义是：先将输入 <math>x</math> 复制一份，同时作为 <math>\bar{f}</math> 的两个参数代入（对角线操作），再将计算结果用 <math>\alpha</math> 做变换。这是整个证明的核心——抽象的对角线自指代入。
* 步骤3：应用弱点满射条件
* 步骤3：应用弱点满射条件
*: 根据题设，<math>g</math> 是弱点满射。对上述构造的 <math>f : A \to Y</math>，必然存在某个点 <math>y : 1 \to A</math>，使得对所有点 <math>a : 1 \to A</math>，都有：
*: 根据题设，<math>f</math> 是弱点满射。对上述构造的 <math>g : A \to Y</math>，必然存在某个点 <math>y : 1 \to A</math>，使得对所有点 <math>a : 1 \to A</math>，都有：
*: <math>\langle a, y \rangle \cdot \bar{g} = a \cdot f</math>
*: <math>\langle a, y \rangle \cdot \bar{f} = a \cdot g</math>
*: 也就是说，<math>y</math> 就是函数 <math>f</math> 对应的“编码”。
*: 也就是说，<math>y</math> 就是函数 <math>g</math> 对应的“编码”。
* 步骤4：对角线代入导出不动点等式
* 步骤4：对角线代入导出不动点等式
*: 将上式中的任意点 <math>a</math> 替换为编码点 <math>y</math> 本身（即将编码代入自身的参数位，完成自指闭合），可得：
*: 将上式中的任意点 <math>a</math> 替换为编码点 <math>y</math> 本身（即将编码代入自身的参数位，完成自指闭合），可得：
*: <math>\langle y, y \rangle \cdot \bar{g} = y \cdot f</math>
*: <math>\langle y, y \rangle \cdot \bar{f} = y \cdot f</math>
*: 将右侧的 <math>f</math> 按步骤2的定义展开，代入 <math>y \cdot f = t\left( \langle y, y \rangle \cdot \bar{g} \right)</math>，得到：
*: 将右侧的 <math>g</math> 按步骤2的定义展开，代入 <math>y \cdot g = \alpha\left( \langle y, y \rangle \cdot \bar{f} \right)</math>，得到：
*: <math>\langle y, y \rangle \cdot \bar{g} = t\left( \langle y, y \rangle \cdot \bar{g} \right)</math>
*: <math>\langle y, y \rangle \cdot \bar{f} = \alpha\left( \langle y, y \rangle \cdot \bar{f} \right)</math>
*: 令 <math>z = \langle y, y \rangle \cdot \bar{g}</math>，这是 <math>Y</math> 的一个点，则上式可写为：
*: 令 <math>t = \langle y, y \rangle \cdot \bar{f}</math>，这是 <math>Y</math> 的一个点，则上式可写为：
*: <math>z = z \cdot t</math>
*: <math>t = \alpha(t)</math>
* 步骤5：结论
* 步骤5：结论