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→信息分解框架下的分析
=信息分解框架下的分析=
=信息分解框架下的分析=
Williams 和 Beer 提出了部分信息框架（partial information framework）。 基本思想是构造这样一个分解： 第一步：纯粹用一个测量共享信息的函数 <math>$I_\cap(S : X_1; \ldots ; X_n)$</math> 来测量包含在<math> $X_1, \ldots, X_n$ 中关于 $S$ </math>的冗余信息。显然，这样的函数应该对 $X_1, \ldots, X_n$ 的排列是对称的。
第二步：<math>$I_\cap$</math> 也被用来测量包含在原始随机变量的组合 <math>$A_1, \ldots, A_k$（即，$A_1, \ldots, A_k$ 是分量在 $\{X_1, \ldots, X_n\}$ 中的随机向量）中关于 $S$ 的冗余信息。</math> 此外，Williams 和 Beer 提出 $I_\cap$ 应该满足以下单调性性质： $$I_\cap(S : A_1; \ldots ; A_k; A_{k+1}) \leq I_\cap(S : A_1; \ldots ; A_k) \text{，如果存在某个 } i \leq k \text{ 使得 } A_i \subseteq A_{k+1} \text{，则取等号}$$ （其中包含关系 $A_i \subseteq A_{k+1}$ 意味着 $A_i$ 的任何分量也是 $A_{k+1}$ 的分量。） 这个单调性性质表明，只需考虑 $A_1, \ldots, A_k$ 构成一个反链（antichain）的情况；即对所有 $i \neq j$，$A_i \not\subseteq A_j$。反链的集合按照以下关系被偏序： $$(B_1, \ldots, B_l) \preceq (A_1, \ldots, A_k) \quad \Longleftrightarrow \quad \text{对于每个 } j = 1, \ldots, k \text{，存在 } i \leq l \text{ 使得 } B_i \subseteq A_j$$ 并且，再次根据单调性性质，$I_\cap$ 是关于这个偏序的一个单调函数。这个偏序实际上使反链的集合成为一个格（lattice）。 如果 $(B_1, \ldots, B_l) \preceq (A_1, \ldots, A_k)$，那么差值 $I_\cap(S : A_1; \ldots ; A_k) - I_\cap(S : B_1; \ldots ; B_l)$ 量化了包含在某个 $A_i$ 中但不包含在任何 $B_l$ 中的信息。
Williams 和 Beer 的思想可以总结为：所有信息都可以根据其包含在哪个反链内来进行分类。
=应用案例=
=应用案例=