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→重整化群方程与费根鲍姆常数
通过图像可以观察到，Logistic迭代的倍分岔图产生了自相似的现象，即从2<sup>p</sup>周期到2<sup>p+1</sup>周期的小山峰彼此相似。这种自相似性可以用费根鲍姆常数<math>\delta</math>和<math>\alpha</math>刻画。一般通过[[重整化]]方法得到两个常数的精确解，且发现对于不同方程的迭代，会得到同样的费根鲍姆常数。[[重整化方法]]可以根据系统所具备的自相似性，写出重整化方程，从而给出相变点的精确位置以及临界指数。这种方法在[[渗流模型]]，[[ISING模型]]中得到了成功的应用。因为在Logistic迭代中也存在着自相似现象，因此，也可以利用重整化的思路。
通过图像可以观察到，Logistic迭代的倍分岔图产生了自相似的现象，即从2<sup>p</sup>周期到2<sup>p+1</sup>周期的小山峰彼此相似。这种自相似性可以用费根鲍姆常数<math>\delta</math>和<math>\alpha</math>刻画。一般通过[[重整化]]方法得到两个常数的精确解，且发现对于不同方程的迭代，会得到同样的费根鲍姆常数。[[重整化方法]]可以根据系统所具备的自相似性，写出重整化方程，从而给出相变点的精确位置以及临界指数。这种方法在[[渗流模型]]，[[ISING模型]]中得到了成功的应用。因为在Logistic迭代中也存在着自相似现象，因此，也可以利用重整化的思路。
===时间上的尺度变换===
===时间上的尺度变换===
:<math>x(t+1)=f(x(t))</math>
:<math>x(t+1)=f(x(t))</math>
时间 t 相当于空间，该映射可以得到一系列不同时刻的点x(1),x(2),....。假如进行放大尺度，忽略掉一些信息，即不是以1为间隔进行采样，而是以2为间隔进行，就会得到：x(1),x(3),x(5),....。因此这个粗粒化的序列相当于按照如下方程进行迭代而成：
时间 t 相当于空间，该映射可以得到一系列不同时刻的点x(1),x(2),....。假如进行放大尺度，忽略掉一些信息，即不是以1为间隔进行采样，而是以2为间隔进行，就会得到：x(1),x(3),x(5),....。因此这个粗粒化的序列相当于按照如下方程进行迭代而成：
x'(t+1)=f(f(x'(t))=f^{(2)}(x'(t))
x'(t+1)=f(f(x'(t))=f^{(2)}(x'(t))
</math>
</math>
所以，对Logistic迭代进行扩缩，实际上就是在对迭代进行归并，从而将迭代的法则<math>f(x)</math>变换成<math>f^{(2)}(x)</math>。而迭代法则f(x)实际上制约了动力系统的全部性质。所以，当人们说系统在不同的分岔点具有自相似性质的时候，实际上就是在考察迭代法则f(x)在尺度变换下，即<math>f(x)\rightarrow f^{(2)}(x)</math>是否具有某种不变的形式。如果迭代法则f(x)具有了尺度变化下的不变性，那么根据前面的讨论，它的一切性质（包括分岔的长度和高度等）就会具有自相似性。因此，迭代法则f(x)就像[[ISING模型]]中的[[配分函数]]，起到了主导的作用。
所以，对Logistic迭代进行扩缩，实际上就是在对迭代进行归并，从而将迭代的法则<math>f(x)</math>变换成<math>f^{(2)}(x)</math>。而迭代法则f(x)实际上制约了动力系统的全部性质。所以，当人们说系统在不同的分岔点具有自相似性质的时候，实际上就是在考察迭代法则f(x)在尺度变换下，即<math>f(x)\rightarrow f^{(2)}(x)</math>是否具有某种不变的形式。如果迭代法则f(x)具有了尺度变化下的不变性，那么根据前面的讨论，它的一切性质（包括分岔的长度和高度等）就会具有自相似性。因此，迭代法则f(x)就像[[ISING模型]]中的[[配分函数]]，起到了主导的作用。
本文不打算对重整化方程的求解进行详细地讨论，仅展示结论。如果把所有经过重整化方程迭代而收敛到同一个点的函数集合记为一个普适类，就可以解释不同的函数形式也具有相同的费根鲍姆常数的原因。同时将R变换在不动点附近进行泰勒级数展开，并保留线性项，我们就可以计算出费根鲍姆常数<math>\delta</math>和<math>\alpha</math>。因此，整个问题就都得到了解答。具体求解可以参考[[重整化]]这个词条的方程求解部分。
本文不打算对重整化方程的求解进行详细地讨论，仅展示结论。如果把所有经过重整化方程迭代而收敛到同一个点的函数集合记为一个普适类，就可以解释不同的函数形式也具有相同的费根鲍姆常数的原因。同时将R变换在不动点附近进行泰勒级数展开，并保留线性项，我们就可以计算出费根鲍姆常数<math>\delta</math>和<math>\alpha</math>。因此，整个问题就都得到了解答。具体求解可以参考[[重整化]]这个词条的方程求解部分。
==参见==
==参见==