更改

对于<math>\mu =4</math>的Logistic映射，此时对应r= 2的帐篷映射。（最小）长度k = 1，2，3，…的循环数是一个已知的整数序列（OEIS中的序列A001037）：2，1 ，2、3、6、9、18、30、56、99、186、335、630、1161…这告诉我们，<math>\mu =4</math>的Logistic映射具有2个固定点，长度为2时的周期为1，长度为3时的周期为2，依此类推。对于素数k有序列：<math>2\frac{2^{k-1}-1}{k}</math>

对于<math>\mu </math>=4的Logistic映射，此时对应<math>\mu </math>= 2的帐篷映射 Tent map。（最小）长度k = 1，2，3，…的循环数是一个已知的整数序列（OEIS中的序列A001037）：2，1 ，2、3、6、9、18、30、56、99、186、335、630、1161…这告诉我们，<math>\mu =4</math>的Logistic映射具有2个固定点，长度为2时的周期为1，长度为3时的周期为2，依此类推。对于素数k有序列：<math>2\frac{2^{k-1}-1}{k}</math>

例如：<math>2\frac{2^{13-1}-1}{13}</math>是长度为13的循环数。在所有初始条件下，映射都是混乱的，所以这些有限长度的循环都是不稳定的。

例如：<math>2\frac{2^{13-1}-1}{13}</math>是长度为13的循环数。在所有初始条件下，映射都是混乱的，所以这些有限长度的循环都是不稳定的。

分岔图具有自相似性:如果我们把上面提到的<math>μ≈3.82843</math>的图像放大，然后把焦点放在这三个值中的一个上，那么附近的情况看起来就像是整个图的缩小和略微扭曲的版本。这同样适用于所有其他非混沌点。这是混沌和分形之间深刻而普遍的联系的一个例子。

分岔图具有自相似性:如果我们把上面提到的<math>μ</math>≈3.82843的图像放大，然后把焦点放在这三个值中的一个上，那么附近的情况看起来就像是整个图的缩小和略微扭曲的版本。这同样适用于所有其他非混沌点。这是混沌和分形之间深刻而普遍的联系的一个例子。

因为<math>\mu</math>始终在范围[0,4]之内，因此，只要<math>\mu>3</math>就会存在二分周期点。并且，我们可以画出这两个解<math>x_1^*,x_2^*</math>随<math>\mu</math>而变的图形：

因为<math>\mu</math>始终在范围[0,4]之内，因此，只要<math>\mu</math>>3就会存在二分周期点。并且，我们可以画出这两个解<math>x_1^*,x_2^*</math>随<math>\mu</math>而变的图形：

也就是说，在这个参数范围内，迭代方程存在着两个稳定的二周期极限点。对照图1，我们实际上已经求得了二分周期的启始和终止位置<math>\mu_1=3,\mu_2=1+\sqrt{6}</math>。

也就是说，在这个参数范围内，迭代方程存在着两个稳定的二周期极限点。对照图1，我们实际上已经求得了二分周期的启始和终止位置<math>\mu_1=3,\mu_2=1+\sqrt{6}</math>。

===其它的倍分周期点===

===其它的倍分周期点===

可以看到在两个分岔点μ_n与μ_n+1之间的区域，图形是自相似的两个“小山头”。为了刻画这种自相似性，引入两个比例数值，分别是费根鲍姆第一、第二常数。

可以看到在两个分岔点<math>\mu_n</math>与<math>\mu_{n+1}</math>之间的区域，图形是自相似的两个“小山头”。为了刻画这种自相似性，引入两个比例数值，分别是费根鲍姆第一、第二常数。

费根鲍姆发现，沿着任意一个分岔的分支行走，任意两个相邻分支的高度之比，例如图2中的<math>l_1/l_{2,1}</math>的极限为常数α。这个常数称为费根鲍姆第二常数，近似值为<math>\alpha</math>=2.5029。

费根鲍姆发现，沿着任意一个分岔的分支行走，任意两个相邻分支的高度之比，例如图2中的<math>l_1/l_{2,1}</math>的极限为常数α。这个常数称为费根鲍姆第二常数，近似值为<math>\alpha</math>=2.5029。

===普适性===

===普适性===

当<math>G</math>在区间<math>[0，\infty) </math>中逐渐增大时，其动力学由规则型变为混沌型，<ref name="Okulov, A Yu 1984">{{cite journal|last1=Okulov|first1=A Yu|last2=Oraevskiĭ|first2=A N|year=1984|title=Regular and stochastic self-modulation in a ring laser with nonlinear element|journal=Soviet Journal of Quantum Electronics|volume=14|issue=2|pages=1235–1237|bibcode=1984QuEle..14.1235O|doi=10.1070/QE1984v014n09ABEH006171}}</ref> 其分岔图在某些性质上与Logistic映射相同。

当<math>G</math>在区间<math>[0，\infty) </math>中逐渐增大时，其动力学由规则型变为混沌型，<ref name="Okulov, A Yu 1984">{{cite journal|last1=Okulov|first1=A Yu|last2=Oraevskiĭ|first2=A N|year=1984|title=Regular and stochastic self-modulation in a ring laser with nonlinear element|journal=Soviet Journal of Quantum Electronics|volume=14|issue=2|pages=1235–1237|bibcode=1984QuEle..14.1235O|doi=10.1070/QE1984v014n09ABEH006171}}</ref> 其分岔图在某些性质上与Logistic映射相同。

更有趣的是，费根鲍姆常数<math>\delta</math>不仅仅对于Logistic映射方程成立，它对一类映射方程：<math>x(t+1)=f(x(t))</math>都成立，并且取同样的值。其中<math>f(x)=a g(x)</math>，<math>a</math>为常数，<math>g(x)</math>为[0,1]区间上的Logistic函数。例如，对于迭代方程：

更有趣的是，费根鲍姆常数<math>\delta</math>不仅仅对于Logistic映射方程成立，它对一类映射方程：<math>x(t+1)=f(x(t))</math>都成立，并且取同样的值。其中<math>f(x)=a g(x)</math>，<math>a</math>为常数，<math>g(x)</math>为[0,1]区间上的Logistic函数。例如，对于迭代方程：

所以，对Logistic迭代进行扩缩，实际上就是在对迭代进行归并，从而将迭代的法则<math>f(x)</math>变换成<math>f^{(2)}(x)</math>。而迭代法则f(x)实际上制约了动力系统的全部性质。所以，当人们说系统在不同的分岔点具有自相似性质的时候，实际上就是在考察迭代法则f(x)在尺度变换下，即<math>f(x)\rightarrow f^{(2)}(x)</math>是否具有某种不变的形式。如果迭代法则f(x)具有了尺度变化下的不变性，那么根据前面的讨论，它的一切性质（包括分岔的长度和高度等）就会具有自相似性。因此，迭代法则f(x)就像[[ISING模型]]中的[[配分函数]]，起到了主导的作用。

所以，对Logistic迭代进行扩缩，实际上就是在对迭代进行归并，从而将迭代的法则<math>f(x)</math>变换成<math>f^{(2)}(x)</math>。而迭代法则f(x)实际上制约了动力系统的全部性质。所以，当人们说系统在不同的分岔点具有自相似性质的时候，实际上就是在考察迭代法则<math>f(x)</math>在尺度变换下，即<math>f(x)\rightarrow f^{(2)}(x)</math>是否具有某种不变的形式。如果迭代法则<math>f(x)</math>具有了尺度变化下的不变性，那么根据前面的讨论，它的一切性质（包括分岔的长度和高度等）就会具有自相似性。因此，迭代法则<math>f(x)</math>就像[[ISING模型]]中的[[配分函数]]，起到了主导的作用。

===迭代法则的自相似性===

===迭代法则的自相似性===

可以将不同时间尺度下的f(x)图像画出来进行直观地比较，透彻分析迭代法则f(x)在尺度变换下的自相似性质。首先，画出f(x)当<math>\mu=\hat{\mu^{(1)}}=2</math>的时候，<math>f^{(2)}(x)</math>在<math>\mu=\hat{\mu^{(2)}}=1+\sqrt{5}</math>的时候的函数图像（其中<math>\hat{\mu^{(p)}}</math>为满足相应第p重迭代函数的超稳定周期条件:<math>\frac{\partial{f^{(p)}(\hat{\mu^{(p)}},x)}}{\partial x}|_{x=x^*}=0</math>下对应的参数值）。函数图如下：

可以将不同时间尺度下的<math>f(x)</math>图像画出来进行直观地比较，透彻分析迭代法则<math>f(x)</math>在尺度变换下的自相似性质。首先，画出<math>f(x)</math>当<math>\mu=\hat{\mu^{(1)}}=2</math>的时候，<math>f^{(2)}(x)</math>在<math>\mu=\hat{\mu^{(2)}}=1+\sqrt{5}</math>的时候的函数图像（其中<math>\hat{\mu^{(p)}}</math>为满足相应第p重迭代函数的超稳定周期条件:<math>\frac{\partial{f^{(p)}(\hat{\mu^{(p)}},x)}}{\partial x}|_{x=x^*}=0</math>下对应的参数值）。函数图如下：

[[File:Selfsim1.png|500px|thumb|center|图14 <math>f(x)</math>与<math>f^{(2)}(x)</math>]]

[[File:Selfsim1.png|500px|thumb|center|图14 <math>f(x)</math>与<math>f^{(2)}(x)</math>]]

===重整化===

===重整化===

上一节仅仅针对Logistic迭代，然而，对于其他的单峰函数，也有类似的自相似性，以及不同阶映射法则之间的图形变换对应。更普遍的是，可以把不同阶映射法则的自相似性作为一个前提而非最终的观察结果来引入，从而反过来求解什么样的函数f(x)才会具有这种性质。最终发现f(x)函数的具体性质并不重要，有相当一大类函数都可以最终得到同样的自相似性结果。而费根鲍姆常数也跟具体的迭代函数f(x)无关，而仅仅与所要求的系统具备的自相似性质有关。

上一节仅仅针对Logistic迭代，然而，对于其他的单峰函数，也有类似的自相似性，以及不同阶映射法则之间的图形变换对应。更普遍的是，可以把不同阶映射法则的自相似性作为一个前提而非最终的观察结果来引入，从而反过来求解什么样的函数<math>f(x)</math>才会具有这种性质。最终发现<math>f(x)</math>函数的具体性质并不重要，有相当一大类函数都可以最终得到同样的自相似性结果。而费根鲍姆常数也跟具体的迭代函数<math>f(x)</math>无关，而仅仅与所要求的系统具备的自相似性质有关。

事实上，如果从不同时间尺度来考察迭代系统的行为，那么迭代函数的自相似要求就变成了重整化群方程。而最终满足重整化方程的函数集合实际上就是重整化理论中的普适类。

事实上，如果从不同时间尺度来考察迭代系统的行为，那么迭代函数的自相似要求就变成了重整化群方程。而最终满足重整化方程的函数集合实际上就是重整化理论中的普适类。

下面，将不同阶迭代法则之间的相似几何关系作为一个基本要求。即对于任意的迭代法则<math>f(\mu,x)</math>，其中f(μ,x)可以写为<math>f(\mu,x)=\mu g(x)</math>，g(x)为[0,1]内的单峰函数，要求它在变换R下不变。其中R为对函数f进行一系列操作：

下面，将不同阶迭代法则之间的相似几何关系作为一个基本要求。即对于任意的迭代法则<math>f(\mu,x)</math>，其中f(μ,x)可以写为<math>f(\mu,x)=\mu g(x)</math>，g(x)为[0,1]内的单峰函数，要求它在变换R下不变。其中R为对函数f进行一系列操作：

(1). 从f得到f⁽²⁾：<math>f^{(2)}=f(f(\hat{\mu_1},x))</math>，其中<math>\hat{\mu_1}</math>为f的超稳定不动点对应的参数；

(1). 从f得到<math>f^{(2)}</math>：<math>f^{(2)}=f(f(\hat{\mu_1},x))</math>，其中<math>\hat{\mu_1}</math>为f的超稳定不动点对应的参数；

(2). 从f⁽²⁾可以计算出它的超稳定不动点<math>\hat{\mu_2}</math>对应的参数；

(2). 从<math>f^{(2)}</math>可以计算出它的超稳定不动点<math>\hat{\mu_2}</math>对应的参数；

(3). 对f⁽²⁾进行尺度缩放和上下左右翻转：<math>f^{(2)}(\hat{\mu_2},x)\rightarrow -\alpha f^{(2)}(\hat{\mu_2},-\frac{x}{\alpha})</math>（其中α为一个常数，将从重整化方程的求解过程中确定它的值）。

(3). 对<math>f^{(2)}</math>进行尺度缩放和上下左右翻转：<math>f^{(2)}(\hat{\mu_2},x)\rightarrow -\alpha f^{(2)}(\hat{\mu_2},-\frac{x}{\alpha})</math>（其中α为一个常数，将从重整化方程的求解过程中确定它的值）。

或者，可以简单地把上述3个步骤写为：

或者，可以简单地把上述3个步骤写为：