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→混沌与Logistic映射
==混沌与Logistic映射==
==混沌与Logistic映射==
[[File:Iterated_logistic_functions.svg.png|thumb|图9 Logistic映射f (blue)及其迭代版本<math>f^2、f^3、f^4</math>和f^5, r = 3.5。例如，对于横轴上的任意初始值，<math>f^4</math>给出后面迭代4次的值|right]]
[[File:Iterated_logistic_functions.svg.png|thumb|400px|图9 Logistic映射<math>f</math> (blue)及其迭代版本<math>f^2、f^3、f^4</math>和<math>f^5</math>, <math>\mu</math> = 3.5。例如，对于横轴上的任意初始值，<math>f^4</math>给出后面迭代4次的值|right]]
Logistic映射 f (blue)在<math>\mu</math>=3.5的条件下进行迭代，得到<math> f^2</math>、<math> f^3</math> 、<math> f^4</math>和 <math> f^5</math>。 例如，对于水平轴上的任何初始值，<math> f^4</math>为四次迭代之后得到的值。和其他混沌系统比较，Logistic映射的相对简单性使它成为考虑混沌概念的一个广泛使用的切入点。简单来说，混沌就是对初始条件的高度灵敏度。<math>\mu</math>=3.5是在3.57及4之间的大部分数值都可以使Logistic映射出现该特性。<ref name="May, Robert M 1976" /> 由于映射本身对定义域的拉伸及折叠，使得其对初始条件有高度灵敏度,故表现出来了混沌特性。Logistic映射的二次差分方程可视为是对于区间(0,1)拉伸及折叠的过程。<ref name="Gleick">{{cite book |last=Gleick |first=James |title=Chaos: Making a New Science |year=1987 |publisher=Penguin Books |location=London |isbn=978-0-14-009250-9 }}</ref>
Logistic映射 f (blue)在<math>\mu</math>=3.5的条件下进行迭代，得到<math> f^2</math>、<math> f^3</math> 、<math> f^4</math>和 <math> f^5</math>。 例如，对于水平轴上的任何初始值，<math> f^4</math>为四次迭代之后得到的值。和其他混沌系统比较，Logistic映射的相对简单性使它成为考虑混沌概念的一个广泛使用的切入点。简单来说，混沌就是对初始条件的高度灵敏度。<math>\mu</math>=3.5是在3.57及4之间的大部分数值都可以使Logistic映射出现该特性。<ref name="May, Robert M 1976" /> 由于映射本身对定义域的拉伸及折叠，使得其对初始条件有高度灵敏度,故表现出来了混沌特性。Logistic映射的二次差分方程可视为是对于区间(0,1)拉伸及折叠的过程。<ref name="Gleick">{{cite book |last=Gleick |first=James |title=Chaos: Making a New Science |year=1987 |publisher=Penguin Books |location=London |isbn=978-0-14-009250-9 }}</ref>
[[File:Logistic_map_scatterplots_large.png|400px|thumb|图10 二维和三维的庞加莱图显示了Logistic映射的拉伸和折叠结构|right]]
图10中，右图说明了在Logistic映射的迭代序列上的伸展和折叠。左边 图(a) 显示了Logistic映射在<math>\mu</math>=4条件下的二维庞加莱图，并清楚地显示了差分方程的二次曲线。利用二维及三维的相图可以看出一些Logistic映射的特性。以<math>\mu</math>=4的Logistic映射为例，二维相图为一抛物线，但是若用相同的序列绘制三维相图，可看出进一步的结构，例如几个一开始很接近的点在迭代后开始发散．特别是位在斜率较大位置的点。
图10中，右图说明了在Logistic映射的迭代序列上的伸展和折叠。左边 图(a) 显示了Logistic映射在<math>\mu</math>=4条件下的二维庞加莱图，并清楚地显示了差分方程的二次曲线。利用二维及三维的相图可以看出一些Logistic映射的特性。以<math>\mu</math>=4的Logistic映射为例，二维相图为一抛物线，但是若用相同的序列绘制三维相图，可看出进一步的结构，例如几个一开始很接近的点在迭代后开始发散．特别是位在斜率较大位置的点。