更改

   

   

Allometry 是一个合成词，allo-表示相异的，而-metry这个后缀则有测量、度量的意思。因此，这两个词根合起来就是相异的两种测量。而这里的相异又是何含义呢？我们要先理解Allometry的反义词Isometry一词，这里Iso是表示相同的。在上面的例子中，如果螃蟹钳子的生长速度和它的身体的生长速度是相同的，也就是说幂律指数 <math>\alpha=1</math> ，那就表示钳子和它的体积是线性的，它们以相同的速度增长 Isometry 。但是，事实上，我们测量到的真实数据告诉我们，这两个变量的生长速度并不一致，钳子快，身体慢，它们两者不协调，因此，就称为异速生长。

Allometry 是一个合成词，allo-表示相异的，而-metry这个后缀则有测量、度量的意思。因此，这两个词根合起来就是相异的两种测量。而这里的相异又是何含义呢？我们要先理解 Allometry 的反义词 Isometry 一词，这里 Iso 是表示相同的。在上面的例子中，如果螃蟹钳子的生长速度和它的身体的生长速度是相同的，也就是说幂律指数 <math>\alpha=1</math> ，那就表示钳子和它的体积是线性的，它们以相同的速度增长 Isometry 。但是，事实上，我们测量到的真实数据告诉我们，这两个变量的生长速度并不一致，钳子快，身体慢，它们两者不协调，因此，就称为异速生长。

   

   

根据Wikipedia上面的解释，这里所说的同速增长Isometry并不一定就等于是线性增长关系，而是一种正常的按照欧几里德几何的增长方式。因此，Isometry就成为了一种作为参考和比较的类似于统计上的零模型的东西 Null model 。

根据 Wikipedia 上面的解释，这里所说的同速增长 Isometry 并不一定就等于是线性增长关系，而是一种正常的按照欧几里德几何的增长方式。因此，Isometry 就成为了一种作为参考和比较的类似于统计上的零模型的东西 Null model 。

   

   

   

   

在上面的例子中，我们是将同一个生物个体不同时刻的钳子大小和个体大小两个变量作为数据点画在双对数坐标下得到异速生长律，这种异速生长律被称之为个体发生异速律 ontogenetic allometry  。我们也可以这样做：在同一个时间，找来一堆招潮蟹，这堆招潮蟹有大有小，我们将它们的钳子大小作为一个变量 <math>Y_i</math> (i表示个体），个头大小作为另一个变量 <math>X_i</math> ，然后将这些数据点画在同一个坐标轴上。这个时候，我们仍然可能得到一个 <math>Y_i</math> 与 <math>X_i</math> 之间的幂律关系，但是这个幂律关系描述的是不同个体在同一个时刻的异速生长律。在生物学中，这被称为静态的异速律 Static allometry 。

在上面的例子中，我们是将同一个生物个体不同时刻的钳子大小和个体大小两个变量作为数据点画在双对数坐标下得到异速生长律，这种异速生长律被称之为个体发生异速律 Ontogenetic allometry  。我们也可以这样做：在同一个时间，找来一堆招潮蟹，这堆招潮蟹有大有小，我们将它们的钳子大小作为一个变量 <math>Y_i</math> (i表示个体），个头大小作为另一个变量 <math>X_i</math> ，然后将这些数据点画在同一个坐标轴上。这个时候，我们仍然可能得到一个 <math>Y_i</math> 与 <math>X_i</math> 之间的幂律关系，但是这个幂律关系描述的是不同个体在同一个时刻的异速生长律。在生物学中，这被称为静态的异速律 Static allometry 。

   

   

   

   

例如，我们考虑生物体的新陈代谢 <math>F</ math> 和它们的重量M之间的异速生长关系。Max Rubner 曾经对狗这个物种研究过这两个变量之间的关系，由于狗的品种繁多，而且他们的重量M的变化范围很大，因此画在双对数坐标下，会有一个很宽广的范围，可以研究种内的异速生长律。他的数据指出，狗种内的异速生长律的幂指数是2/3左右。后来又有人用鸟来做种内的异速生长律，结果也接近2/3。

例如，我们考虑生物体的新陈代谢 <math>F</math> 和它们的重量 <math>M</math> 之间的异速生长关系。Max Rubner 曾经对狗这个物种研究过这两个变量之间的关系，由于狗的品种繁多，而且他们的重量M的变化范围很大，因此画在双对数坐标下，会有一个很宽广的范围，可以研究种内的异速生长律。他的数据指出，狗种内的异速生长律的幂指数是2/3左右。后来又有人用鸟来做种内的异速生长律，结果也接近2/3。

   

   

然而，Kleiber（1932）发现，如果我们研究种间的F与M之间的关系。即找来不同的物种，并测量每个物种多个个体的平均新陈代谢量以及生物体重量，然后将这些数据点画在同一张图上，就会得到幂指数为3/4的异速生长律。因此，我们看到尽管是同一对变量，种间和种内的异速生长律幂指数也是很不同的。

然而，Kleiber（1932）发现，如果我们研究种间的 <math>F</math> 与 <math>M</math> 之间的关系。即找来不同的物种，并测量每个物种多个个体的平均新陈代谢量以及生物体重量，然后将这些数据点画在同一张图上，就会得到幂指数为3/4的异速生长律。因此，我们看到尽管是同一对变量，种间和种内的异速生长律幂指数也是很不同的。

===3/4幂律——生物中的“开普勒”定律===

===3/4幂律——生物中的“开普勒”定律===

   

   

因为Kleiber的3/4定律不仅仅给出了所有不同物种的统一的幂律关系，还指出这些幂律关系具有完全同样的幂指数3/4，更让人吃惊的是，这个定律的适用范围非常广泛，小到分子、细胞器、细胞，大到鲸鱼、大象，新陈代谢与生物量之间的3/4次幂律始终成立。大自然再一次在看似纷乱复杂的生物世界中展示了它的统一的数学之美。

因为 Kleiber 的3/4定律不仅仅给出了所有不同物种的统一的幂律关系，还指出这些幂律关系具有完全同样的幂指数3/4，更让人吃惊的是，这个定律的适用范围非常广泛，小到分子、细胞器、细胞，大到鲸鱼、大象，新陈代谢与生物量之间的3/4次幂律始终成立。大自然再一次在看似纷乱复杂的生物世界中展示了它的统一的数学之美。

   

   

继Kleiber等在早期针对哺乳动物得到了3/4幂律之后，Geoffery West等人又将这一定律的适用范围进一步扩大到了微观生物世界。在2002年的PNAS刊物上的一篇文章《Allometric scaling of metabolic rate from molecules and mitochondria to cells and mammals》中<ref>{{cite journal | last = West | first = Geoffery |  date = 2002 | title = Allometric scaling of metabolic rate from molecules and mitochondria to cells and mammals | url = http://www.pnas.org/content/99/suppl.1/2473.full | journal = PNAS| volume = 99| pages = 2473-2478}}</ref>他们指出从完整的生物体，到细胞、线粒体甚至到色素细胞氧化酶分子，在这横跨了27个数量级的上，所有这些生命现象都遵从同一个指数的3/4幂律。如下图所示：

继 Kleiber 等在早期针对哺乳动物得到了3/4幂律之后，Geoffery West 等人又将这一定律的适用范围进一步扩大到了微观生物世界。在2002年的PNAS刊物上的一篇文章《Allometric scaling of metabolic rate from molecules and mitochondria to cells and mammals》中<ref>{{cite journal | last = West | first = Geoffery |  date = 2002 | title = Allometric scaling of metabolic rate from molecules and mitochondria to cells and mammals | url = http://www.pnas.org/content/99/suppl.1/2473.full | journal = PNAS| volume = 99| pages = 2473-2478}}</ref>他们指出从完整的生物体，到细胞、线粒体甚至到色素细胞氧化酶分子，在这横跨了27个数量级的上，所有这些生命现象都遵从同一个指数的3/4幂律。如下图所示：

  [[File:Allo2.jpg|Kleiber Law]]

  [[File:Allo2.jpg|Kleiber Law]]

   

   

值得注意的是，对于不同尺度的生物系统来说，虽然他们的幂指数都非常接近3/4，但是这些直线的截距（也就是log(c)却不尽相同)。这意味着：处于同一条直线上的生物体具有相类似的网络结构（它们是同一种系统经过尺度变化，不断扩大出来的，这类似于一个个体从小到大的诚征）。而处在不同直线段上的生物体却不一定具有相似的结构。有关 Kleiber 律以及其它的种间的异速生长律的详细介绍，请大家参看：《流的探索》。

值得注意的是，对于不同尺度的生物系统来说，虽然他们的幂指数都非常接近3/4，但是这些直线的截距（也就是 <math>log(c)</math> 却不尽相同)。这意味着：处于同一条直线上的生物体具有相类似的网络结构（它们是同一种系统经过尺度变化，不断扩大出来的，这类似于一个个体从小到大的诚征）。而处在不同直线段上的生物体却不一定具有相似的结构。有关 Kleiber 律以及其它的种间的异速生长律的详细介绍，请大家参看：《流的探索》。

   

   

例如，当研究人类城市的时候，就会发现很多变量都随着城市规模（人口数）的增长而呈现异速生长方程。而这些变量所对应的幂指数大小不一。例如，在Luis Bettencourt等人的文章《Growth, innovation, scaling, and the pace of life in cities》中<ref name="city">{{cite journal | last = Luís | first = M. A. Bettencourt* José Lobo, Dirk Helbing, Christian Kühnert, Geoffrey B. West | date = 2007 | title = Growth, innovation, scaling, and the pace of life in cities | url = http://www.pnas.org/content/104/17/7301.abstract | journal = PNAS| volume = 104 | number=17 | pages = 7301-7306}}</ref>，作者研究了多种变量与城市人口之间的静态异速生长关系（同一个时间截面，不同的城市）：

例如，当研究人类城市的时候，就会发现很多变量都随着城市规模（人口数）的增长而呈现异速生长方程。而这些变量所对应的幂指数大小不一。例如，在 Luis Bettencourt 等人的文章《Growth, innovation, scaling, and the pace of life in cities》中<ref name="city">{{cite journal | last = Luís | first = M. A. Bettencourt* José Lobo, Dirk Helbing, Christian Kühnert, Geoffrey B. West | date = 2007 | title = Growth, innovation, scaling, and the pace of life in cities | url = http://www.pnas.org/content/104/17/7301.abstract | journal = PNAS| volume = 104 | number=17 | pages = 7301-7306}}</ref>，作者研究了多种变量与城市人口之间的静态异速生长关系（同一个时间截面，不同的城市）：

   

   

如上表所示，最左边一列是城市的各种指标（即变量Y），例如一个城市在一年内新申请的专利数量、城市的总产值（GDP）、总的房屋数目、总电量消耗、加油站数目等等。第二列则给出了异速生长方程Y=c X^a中的幂律指数。第三列是拟合优度R^2、第四列是在幂律方程中拟合点的数目，最后一列则指出了不同的数据来源，它们来自美国、中国、德国、欧洲的不同时期。

如上表所示，最左边一列是城市的各种指标（即变量 <math>Y</math> ），例如一个城市在一年内新申请的专利数量、城市的总产值（GDP）、总的房屋数目、总电量消耗、加油站数目等等。第二列则给出了异速生长方程 <math>Y=c X^a</math> 中的幂律指数。第三列是拟合优度 <math>R^2</math> 、第四列是在幂律方程中拟合点的数目，最后一列则指出了不同的数据来源，它们来自美国、中国、德国、欧洲的不同时期。

   

   

在这里，方程的左边是人均拥有的Y变量（例如人均GDP，人均加油站数量等等）。如果a>1，那么方程右侧的幂指数就大于0，也就是人均拥有的Y变量会随着城市的增长而增大。如果a<1，则体现为人均Y会随着城市的增长而减小。如果a~1，就意味着人均Y不随城市规模而变化。

在这里，方程的左边是人均拥有的 <math>Y</math> 变量（例如人均GDP，人均加油站数量等等）。如果a>1，那么方程右侧的幂指数就大于0，也就是人均拥有的Y变量会随着城市的增长而增大。如果a<1，则体现为人均Y会随着城市的增长而减小。如果a~1，就意味着人均Y不随城市规模而变化。

   

   

   

   

研究异速生长定律，需要实证数据。张江发现，Mathematica 6.0软件之中就包含了大量的数据，且通过Mathamtica中CountryData命令，可以将自己的PC机与Wolfram公司提供的在线数据库相连，从而访问世界各国各方面的数据（包括地理、人口、经济、贸易等）。基于该数据库，张江展开了大量的关于异速生长律的研究。

研究异速生长定律，需要实证数据。张江发现，Mathematica 6.0 软件之中就包含了大量的数据，且通过 Mathamtica 中 CountryData 命令，可以将自己的 PC 机与 Wolfram 公司提供的在线数据库相连，从而访问世界各国各方面的数据（包括地理、人口、经济、贸易等）。基于该数据库，张江展开了大量的关于异速生长律的研究。

   

   

在这个研究中，张的团队对273个国家或地区的104个数值型的变量进行了系统性的静态异速生长律研究。首先，将所有变量划分成了两类：1、广延型的变量；2、强度型变量。在物理中，所谓的广延型变量是诸如能量、质量、熵等具有子系统可加性的变量。在国家中，一些宏观总量，如人口、GDP、面积、出口、进口等都属于广延型变量。而平均的人均GDP，人口的生育率、死亡率等类似于物理中的温度、压强被称为强度量。

在这个研究中，张的团队对273个国家或地区的104个数值型的变量进行了系统性的静态异速生长律研究。首先，将所有变量划分成了两类：1、广延型的变量；2、强度型变量。在物理中，所谓的广延型变量是诸如能量、质量、熵等具有子系统可加性的变量。在国家中，一些宏观总量，如人口、GDP、面积、出口、进口等都属于广延型变量。而平均的人均GDP，人口的生育率、死亡率等类似于物理中的温度、压强被称为强度量。

   

   

而其它的标度律则关心的是单一一个个变量的幂律分布。例如Pareto定律就在说对于经济系统中的高收入人群来说，他们的收入X服从幂律分布，即你发现收入在区间 <math>[x,x+dx]</math> 之间的人的比例是 <math>x^{-a}</math> 。即：

而其它的标度律则关心的是单一一个个变量的幂律分布。例如 Pareto 定律就在说对于经济系统中的高收入人群来说，他们的收入X服从幂律分布，即你发现收入在区间 <math>[x,x+dx]</math> 之间的人的比例是 <math>x^{-a}</math> 。即：

   

   

   

   

2012年2月，生物学家M. Stumpf和数学家M.A. Poter在Science上撰写《Critical Truths About Power Law》<ref name="critical">{{cite journal|first=Michael P. H.|last=Stumpf1|title=Critical Truths About Power Law|journal=Science|page=665-666|time=2012}}</ref>一文声称很多幂律分布现象(例如复杂网络中的无标度分布)都不具有统计上的严格性，而且其生成机理也缺乏一定的深刻性。相反，异速生长标度律现象则统计意义上更加严格而且其机理也是很深刻的。

2012年2月，生物学家 M. Stumpf 和数学家 M.A. Poter 在 Science 上撰写《Critical Truths About Power Law》<ref name="critical">{{cite journal|first=Michael P. H.|last=Stumpf1|title=Critical Truths About Power Law|journal=Science|page=665-666|time=2012}}</ref>一文声称很多幂律分布现象(例如复杂网络中的无标度分布)都不具有统计上的严格性，而且其生成机理也缺乏一定的深刻性。相反，异速生长标度律现象则统计意义上更加严格而且其机理也是很深刻的。