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如果注意力被限制在时间间隔内，<ref>{{cite journal |author1=Vellekoop, Michel |author2=Berglund, Raoul |title=On Intervals, Transitivity = Chaos |journal=The American Mathematical Monthly |volume=101 |issue=4 |pages=353–5 |date=April 1994 |jstor=2975629 |doi=10.2307/2975629}}</ref>那么第二个性质就意味着另外两个性质。混沌的另一种定义和一般较弱的定义只使用了上面列表中的前两个属性。

如果注意力被限制在时间间隔内，<ref>{{cite journal |author1=Vellekoop, Michel |author2=Berglund, Raoul |title=On Intervals, Transitivity = Chaos |journal=The American Mathematical Monthly |volume=101 |issue=4 |pages=353–5 |date=April 1994 |doi=10.2307/2975629}}</ref>那么第二个性质就意味着另外两个性质。混沌的另一种定义和一般较弱的定义只使用了上面列表中的前两个属性。

<ref>{{cite book |author1=Medio, Alfredo |author2=Lines, Marji |title=Nonlinear Dynamics: A Primer |publisher=Cambridge University Press |year=2001 |isbn=978-0-521-55874-7 |page=165 }}</ref>

<ref>{{cite book |author1=Medio, Alfredo |author2=Lines, Marji |title=Nonlinear Dynamics: A Primer |publisher=Cambridge University Press |year=2001 |isbn=978-0-521-55874-7 |page=165 }}</ref>

1963年，[[伯努·瓦·曼德布洛特 Benoit Mandelbrot]]在棉花价格数据中发现了各种规模的循环模式。<ref>{{cite journal|first = Benoît|last = Mandelbrot|year = 1963|title = The variation of certain speculative prices|journal = Journal of Business|volume = 36|pages = 394–419|doi = 10.1086/294632|issue = 4|jstor=2350970}}</ref>事先他研究过信息理论，并得出结论，噪音的模式类似于康托集: 在任何尺度上，包含噪音的周期与无误差的周期的比例是一个常数——因此误差是不可避免的，必须通过引入冗余来计划。<ref>{{cite journal |author1=Berger J.M. |author2=Mandelbrot B. | year = 1963 | title = A new model for error clustering in telephone circuits | journal = IBM Journal of Research and Development | volume = 7 |issue=3 | pages = 224–236 | doi=10.1147/rd.73.0224}}</ref>Mandelbrot既描述了“诺亚效应”(可能会发生突然的不连续变化) ，也描述了“约瑟夫效应 Joseph effect”(可能会持续一段时间，然后突然改变)。<ref>{{cite book |author=Mandelbrot, B. |title=The Fractal Geometry of Nature |publisher=Freeman |location=New York |year=1977 |page=248 }}</ref><ref>See also: {{cite book |last1=Mandelbrot |first1=Benoît B. |last2=Hudson |first2=Richard L. |title=The (Mis)behavior of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward |url=https://archive.org/details/misbehaviorofmar00beno |url-access=registration |publisher=Basic Books |location=New York |year=2004 |page=[https://archive.org/details/misbehaviorofmar00beno/page/201 201] }}</ref>这挑战了价格变化是正态分布的观点。1967年，他出版了《英国的海岸线有多长？统计自相似性和分维数”，显示海岸线的长度随测量仪器的规模而变化，在所有规模上都与仪器相似，而且对于一个极小的测量装置来说，长度是无限的。<ref>{{cite journal |last=Mandelbrot |first=Benoît |title=How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension |journal=Science |volume=156 |issue=3775 |pages=636–8 |date=5 May 1967 |doi=10.1126/science.156.3775.636 |pmid=17837158 |bibcode = 1967Sci...156..636M }}</ref>他认为，从远处(0维)看，一个线球似乎是一个点，从相当接近(3维)看，一个球，或一个曲线(一维) ，他认为，一个物体的尺寸是相对于观察者，可能是分数。如果一个物体的不规则性在不同尺度上是常数(“自相似”) ，那么这个物体就是一个分形(例如门格尔海绵 the Menger sponge、赛尔皮滑雪垫圈 the Sierpiński gasket和科氏曲线或雪花 Koch curve or snowflake，它们是无限长的，但覆盖着一个有限的空间，分形维数约为1.2619)。1982年，Mandelbrot发表了《自然的分形几何》 ，成为混沌理论的经典之作。<ref>{{cite book|author=Mandelbrot, B.|title=The Fractal Geometry of Nature|date=1982|place=New York|publisher=Macmillan|isbn=978-0716711865|url=https://archive.org/details/fractalgeometryo00beno}}</ref>生物学系统，如循环系统和支气管系统的分支证明符合一个分形模型。<ref>{{cite book |last1=Buldyrev |first1=S.V. |last2=Goldberger |first2=A.L. | last3=Havlin |first3=S.|last4=Peng |first4=C.K. | last5=Stanley | first5=H.E. |editor1-first=Armin |editor1-last=Bunde  |editor2-first=Shlomo | editor2-last=Havlin | editor2-link=Shlomo Havlin |title=Fractals in Science |publisher=Springer |year=1994 |pages=49–89 |chapter=Fractals in Biology and Medicine: From DNA to the Heartbeat |isbn=978-3-540-56220-7}}</ref>

1963年，[[伯努·瓦·曼德布洛特 Benoit Mandelbrot]]在棉花价格数据中发现了各种规模的循环模式。<ref>{{cite journal|first = Benoît|last = Mandelbrot|year = 1963|title = The variation of certain speculative prices|journal = Journal of Business|volume = 36|pages = 394–419|doi = 10.1086/294632|issue = 4}}</ref>事先他研究过信息理论，并得出结论，噪音的模式类似于康托集: 在任何尺度上，包含噪音的周期与无误差的周期的比例是一个常数——因此误差是不可避免的，必须通过引入冗余来计划。<ref>{{cite journal |author1=Berger J.M. |author2=Mandelbrot B. | year = 1963 | title = A new model for error clustering in telephone circuits | journal = IBM Journal of Research and Development | volume = 7 |issue=3 | pages = 224–236 | doi=10.1147/rd.73.0224}}</ref>Mandelbrot既描述了“诺亚效应”(可能会发生突然的不连续变化) ，也描述了“约瑟夫效应 Joseph effect”(可能会持续一段时间，然后突然改变)。<ref>{{cite book |author=Mandelbrot, B. |title=The Fractal Geometry of Nature |publisher=Freeman |location=New York |year=1977 |page=248 }}</ref><ref>See also: {{cite book |last1=Mandelbrot |first1=Benoît B. |last2=Hudson |first2=Richard L. |title=The (Mis)behavior of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward |url=https://archive.org/details/misbehaviorofmar00beno |url-access=registration |publisher=Basic Books |location=New York |year=2004 |page=[https://archive.org/details/misbehaviorofmar00beno/page/201 201] }}</ref>这挑战了价格变化是正态分布的观点。1967年，他出版了《英国的海岸线有多长？统计自相似性和分维数”，显示海岸线的长度随测量仪器的规模而变化，在所有规模上都与仪器相似，而且对于一个极小的测量装置来说，长度是无限的。<ref>{{cite journal |last=Mandelbrot |first=Benoît |title=How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension |journal=Science |volume=156 |issue=3775 |pages=636–8 |date=5 May 1967 |doi=10.1126/science.156.3775.636 |pmid=17837158 |bibcode = 1967Sci...156..636M }}</ref>他认为，从远处(0维)看，一个线球似乎是一个点，从相当接近(3维)看，一个球，或一个曲线(一维) ，他认为，一个物体的尺寸是相对于观察者，可能是分数。如果一个物体的不规则性在不同尺度上是常数(“自相似”) ，那么这个物体就是一个分形(例如门格尔海绵 the Menger sponge、赛尔皮滑雪垫圈 the Sierpiński gasket和科氏曲线或雪花 Koch curve or snowflake，它们是无限长的，但覆盖着一个有限的空间，分形维数约为1.2619)。1982年，Mandelbrot发表了《自然的分形几何》 ，成为混沌理论的经典之作。<ref>{{cite book|author=Mandelbrot, B.|title=The Fractal Geometry of Nature|date=1982|place=New York|publisher=Macmillan|isbn=978-0716711865|url=https://archive.org/details/fractalgeometryo00beno}}</ref>生物学系统，如循环系统和支气管系统的分支证明符合一个分形模型。<ref>{{cite book |last1=Buldyrev |first1=S.V. |last2=Goldberger |first2=A.L. | last3=Havlin |first3=S.|last4=Peng |first4=C.K. | last5=Stanley | first5=H.E. |editor1-first=Armin |editor1-last=Bunde  |editor2-first=Shlomo | editor2-last=Havlin | editor2-link=Shlomo Havlin |title=Fractals in Science |publisher=Springer |year=1994 |pages=49–89 |chapter=Fractals in Biology and Medicine: From DNA to the Heartbeat |isbn=978-3-540-56220-7}}</ref>