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又知道彭加莱圆模型中以某点为中心的圆方程，代入上述坐标变换公式，就能得到扩展模型中的圆。不难从图形上看出，这个圆被严重扭曲、拉伸了。
又知道彭加莱圆模型中以某点为中心的圆方程，代入上述坐标变换公式，就能得到扩展模型中的圆。不难从图形上看出，这个圆被严重扭曲、拉伸了。
[[File:hyperbolicextendedpoincaredisk.png|500px]]
[[File:hyperbolicextendedpoincaredisk.png|center|500px]]
实际上，之所以双曲空间能够比较好地描述现实中的网络，是因为大多数现实网络都具有树状的层次结构。而双曲空间就是树网络的连续版本。为什么这么说呢？我们知道如果树的一个节点有两个分叉的话，那么从树根往外放射出去，第一层有2个节点，第二层就有4个，第三层8个，……，第n层就有<math>2^n=\exp(n \ln2) </math>个，因此这是一个指数增长。如果将双曲空间中的坐标原点看作是树根，到原点的距离为层数n，那么双曲空间的半径n处圆的周长就相当于树第n层的节点数，也是近似exp(n)的增长关系，所以这二者其实是等价的。
实际上，之所以双曲空间能够比较好地描述现实中的网络，是因为大多数现实网络都具有树状的层次结构。而双曲空间就是树网络的连续版本。为什么这么说呢？我们知道如果树的一个节点有两个分叉的话，那么从树根往外放射出去，第一层有2个节点，第二层就有4个，第三层8个，……，第n层就有<math>2^n=\exp(n \ln2) </math>个，因此这是一个指数增长。如果将双曲空间中的坐标原点看作是树根，到原点的距离为层数n，那么双曲空间的半径n处圆的周长就相当于树第n层的节点数，也是近似exp(n)的增长关系，所以这二者其实是等价的。
[[File:hyperbolictreethreebranches.png|500px]]
[[File:hyperbolictreethreebranches.png|center|500px]]
* r=R，也就是连通性的邻域半径r刚好与撒点的空间大小R相等
* r=R，也就是连通性的邻域半径r刚好与撒点的空间大小R相等
[[File:randomgeometricgraphinhyperbolicspace.png|500px]]
[[File:randomgeometricgraphinhyperbolicspace.png|center|500px]]
首先，我们可以证明，按照这种方式构造出的复杂网络具备无标度度分布的特性。不失一般性，我们考虑的双曲空间曲率为K＝－1.
首先，我们可以证明，按照这种方式构造出的复杂网络具备无标度度分布的特性。不失一般性，我们考虑的双曲空间曲率为K＝－1.
[[File:illustrationofscalingfreeinhyperbolic.png|300px]]
[[File:illustrationofscalingfreeinhyperbolic.png|center|300px]]
在软化链接模型中，我们可以做出聚集系数随温度变化的曲线，如下图：
在软化链接模型中，我们可以做出聚集系数随温度变化的曲线，如下图：
[[File:hyperbolicspaceclusteringwithtemperature.png|500px]]
[[File:hyperbolicspaceclusteringwithtemperature.png|center|500px]]
下图展示了这套规则：
下图展示了这套规则：
[[File:hyperbolicspacegrowthnetworkmodel.png|500px]]
[[File:hyperbolicspacegrowthnetworkmodel.png|center|500px]]
但是，与[[BA网络模型]]不一样的地方是，双曲模型的链接概率还依赖于双曲距离，如下图所示：
但是，与[[BA网络模型]]不一样的地方是，双曲模型的链接概率还依赖于双曲距离，如下图所示：
[[File:preferentialattachmentinhyperbolicspace.png|600px]]
[[File:preferentialattachmentinhyperbolicspace.png|center|600px]]
这两张图都是模拟结果。我们看到上图是偏好依附概率随度增长的情况，下图为链接概率与双曲距离的关系，BA网络模型与距离无关。
这两张图都是模拟结果。我们看到上图是偏好依附概率随度增长的情况，下图为链接概率与双曲距离的关系，BA网络模型与距离无关。
[[File:probabilityvshyperbolicdistanceinempiricalnetworks.png|600px]]
[[File:probabilityvshyperbolicdistanceinempiricalnetworks.png|center|600px]]