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第143行：
第143行： − − − More formally, if <math>\mathbf{u}</math> is a vector such that <math>\mathbf{u}(v)</math> is the number of times the vertex <math>v</math> topples during the stabilization (via the toppling of unstable vertices) of a chip configuration <math>z</math>, and <math>\mathbf{n}</math> is an integral vector (not necessarily non-negative) such that <math>z-\mathbf{n}\Delta'</math> is stable, then <math>\mathbf{u}(v) \leq \mathbf{n}(v)</math> for all vertices <math>v</math>.
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这可以如下形式化的描述。如果一个序列只崩塌了不稳定的顶点而达到了稳定构型，则称其为“合法的”，沙堆稳定化的标准方法是找到一个最大的合法崩塌序列，也就是说，让崩塌序列尽可能地长。这种序列具有明显的稳定性，沙堆的可交换性质是所有这些置换后的序列都是等价的，也就是说，对于任何顶点<math>v</math>，在所有合法的稳定序列中<math>v</math>的崩塌次数都是不变的。根据最小作用原理，最小稳定序列等价于合法的（且稳定的）崩塌序列的置换。特别地，由最小稳定序列产生的构型与由最大合法序列产生的构型是相同的。
这可以如下形式化的描述。如果一个序列只崩塌了不稳定的顶点而达到了稳定构型，则称其为“合法的”，沙堆稳定化的标准方法是找到一个最大的合法崩塌序列，也就是说，让崩塌序列尽可能地长。这种序列具有明显的稳定性，沙堆的可交换性质是所有这些置换后的序列都是等价的，也就是说，对于任何顶点<math>v</math>，在所有合法的稳定序列中<math>v</math>的崩塌次数都是不变的。根据最小作用原理，最小稳定序列等价于合法的（且稳定的）崩塌序列的置换。特别地，由最小稳定序列产生的构型与由最大合法序列产生的构型是相同的。
更形式化地说，如果<math>\mathbf{u}</math>是一个向量， <math>\mathbf{u}（v）</math>是碎片构型<math>z</math>在稳定过程中（通过不稳定顶点的崩塌）顶点<math>v</math>崩塌的次数，
更形式化地说，如果<math>\mathbf{u}</math>是一个向量， <math>\mathbf{u}（v）</math>是碎片构型<math>z</math>在稳定过程中（通过不稳定顶点的崩塌）顶点<math>v</math>崩塌的次数，