更改

在使用<font color="#ff8000">“重尾” Heavy-tailed</font>一词时仍存在一些歧义。于是就出现了另外两种定义。

在使用<font color="#ff8000">“重尾” Heavy-tailed</font>一词时仍存在一些歧义。于是就出现了另外两种定义。

在这里，给出的是最常用的定义，包括替代定义所涵盖的所有分布，以及具有所有幂矩但通常被认为是重尾分布的<font color="#ff8000">对数正态分布 long-normal distributions </font>。（有时“重尾”用于任何具有比正态分布更重的尾巴的分布。）

在这里，给出的是最常用的定义，包括现有定义所涵盖的所有分布，以及具有所有幂矩但通常被认为是重尾分布的<font color="#ff8000">对数正态分布 long-normal distributions </font>。（有时“重尾”用于任何具有比正态分布更重的尾巴的分布。）

如果''<math>X</math>''的矩生成函数,  ''M_X''(''<math>t</math>'')对于所有''<math>t</math>''&nbsp;>&nbsp;0都是无限的，则具有分布函数''<math>F</math>''的随机变量''<math>X</math>''的分布被称为重尾（右）。<ref name="ReferenceA">Rolski, Schmidli, Scmidt, Teugels, ''Stochastic Processes for Insurance and Finance'', 1999</ref>

如果''<math>X</math>''的矩母函数,  ''M_X''(''<math>t</math>'')对于所有''<math>t</math>''&nbsp;>&nbsp;0都是无限的，则具有分布函数''<math>F</math>''的随机变量''<math>X</math>''的分布被称为重尾（右）。<ref name="ReferenceA">Rolski, Schmidli, Scmidt, Teugels, ''Stochastic Processes for Insurance and Finance'', 1999</ref>

如果对于所有<math>''t''>0</math>，则称具有分布函数<math>''F''</math>的随机变量<math>''X''</math>的分布为有较长的右尾，

如果对于所有<math>t>0</math>，则称具有分布函数<math>F</math>的随机变量<math>X</math>的分布为有较长的右尾，

:<math>

:<math>

次指数性是根据概率分布的<font color="#ff8000">卷积 Convolution </font>定义的。对于具有共同分布函数<math>F</math>的两个独立且分布均匀的随机变量<math> X_1,X_2</math>，<math>F</math>与自身的卷积，<math>F^{*2}</math>是卷积的平方，使用Lebesgue–Stieltjes积分，方法如下：

次指数性是根据概率分布的<font color="#ff8000">卷积 Convolution </font>定义的。对于具有共同分布函数<math>F</math>的两个独立同分布的随机变量<math> X_1,X_2</math>，<math>F</math>与自身的卷积，<math>F^{*2}</math>是卷积的平方，使用Lebesgue–Stieltjes积分，方法如下：

''n''倍卷积<math>F^{*n}</math>定义如下：

''n''重卷积<math>F^{*n}</math>定义如下：

如果满足以下条件，则正半线上的分布<math>F</math>为次指数<ref name="Asmussen"/><ref>{{Cite web|url=https://www.researchgate.net/publication/242637603_A_Theorem_on_Sums_of_Independent_Positive_Random_Variables_and_Its_Applications_to_Branching_Random_Processes|title=A Theorem on Sums of Independent Positive Random Variables and Its Applications to Branching Random Processes|last=Chistyakov|first=V. P.|date=1964|website=ResearchGate|language=en|archive-url=|archive-date=|access-date=April 7, 2019}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aop/1176996225|title=The Class of Subexponential Distributions|last=Teugels|first=Jozef L.|authorlink=|date=1975|website=|publisher=Annals of Probability|publication-place=[[KU Leuven|University of Louvain]]|archive-url=|archive-date=|access-date=April 7, 2019}}</ref>

如果满足以下条件，分布<math>F</math>在正半轴上是为次指数的<ref name="Asmussen"/><ref>{{Cite web|url=https://www.researchgate.net/publication/242637603_A_Theorem_on_Sums_of_Independent_Positive_Random_Variables_and_Its_Applications_to_Branching_Random_Processes|title=A Theorem on Sums of Independent Positive Random Variables and Its Applications to Branching Random Processes|last=Chistyakov|first=V. P.|date=1964|website=ResearchGate|language=en|archive-url=|archive-date=|access-date=April 7, 2019}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aop/1176996225|title=The Class of Subexponential Distributions|last=Teugels|first=Jozef L.|authorlink=|date=1975|website=|publisher=Annals of Probability|publication-place=[[KU Leuven|University of Louvain]]|archive-url=|archive-date=|access-date=April 7, 2019}}</ref>

如果分布<math>F I([0,\infty))</math>为实数，则<math>F</math>为整个实数上的次指数分布。<ref>{{cite journal | last = Willekens | first =  E. | title = Subexponentiality on the real line | journal = Technical Report | publisher = K.U. Leuven | year = 1986}}</ref>此时<math>I([0,\infty))</math>是正半轴的指标函数。或者，当且仅当<math>X^+ = \max(0,X)</math>是次指数时，实数上支持的随机变量<math>X</math>才是次指数。

如果分布<math>F I([0,\infty))</math>为实数，则<math>F</math>为整个实数上的次指数分布。<ref>{{cite journal | last = Willekens | first =  E. | title = Subexponentiality on the real line | journal = Technical Report | publisher = K.U. Leuven | year = 1986}}</ref>此时<math>I([0,\infty))</math>是正半轴的示性函数。或者，当且仅当<math>X^+ = \max(0,X)</math>是次指数时，支撑集为实数轴的随机变量<math>X</math>是次指数的。

双尾的包括：

双尾的包括：

* <font color="#ff8000">柯西分布 Cauchy distribution</font>本身就是稳定分布和t分布的特例；

* <font color="#ff8000">柯西分布 Cauchy distribution</font>本身就是稳定分布和t分布的特例；

* <font color="#ff8000">稳定分布族 The family of stable distributions</font><ref>{{cite web |author=John P. Nolan | title=Stable Distributions: Models for Heavy Tailed Data| year=2009 | url=http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/chap1.pdf | accessdate=2009-02-21}}</ref>，但该族中正态分布的特殊情况除外。一些稳定的分布是单面的（或有半线的支持），例如莱维分布。另请参见具有长尾分布和波动性聚类的财务模型。

* <font color="#ff8000">稳定分布族 The family of stable distributions</font><ref>{{cite web |author=John P. Nolan | title=Stable Distributions: Models for Heavy Tailed Data| year=2009 | url=http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/chap1.pdf | accessdate=2009-02-21}}</ref>，但该族中正态分布的特殊情况除外。一些稳定的分布是单面的（或以是半轴为支持），例如莱维分布。另请参见具有长尾分布和波动性聚类的财务模型。

* t分布

* t分布

*<font color="#ff8000">偏对数正态级联分布 The skew lognormal cascade distribution</font>。<ref>{{cite web | author=Stephen Lihn | title=Skew Lognormal Cascade Distribution | year=2009 | url=http://www.skew-lognormal-cascade-distribution.org/ | access-date=2009-06-12 | archive-url=https://web.archive.org/web/20140407075213/http://www.skew-lognormal-cascade-distribution.org/ | archive-date=2014-04-07 | url-status=dead }}</ref>

*<font color="#ff8000">偏对数正态级联分布 The skew lognormal cascade distribution</font>。<ref>{{cite web | author=Stephen Lihn | title=Skew Lognormal Cascade Distribution | year=2009 | url=http://www.skew-lognormal-cascade-distribution.org/ | access-date=2009-06-12 | archive-url=https://web.archive.org/web/20140407075213/http://www.skew-lognormal-cascade-distribution.org/ | archive-date=2014-04-07 | url-status=dead }}</ref>

==与胖尾分布的关系 ==

==与胖尾分布的关系 ==

胖尾分布是指对于较大的<math>x</math>，概率密度函数为<math>x^{-a}</math>趋于零。由于这样的幂总是受到指数分布概率密度函数的限制，因此，胖尾分布始终是重尾分布。

胖尾分布是指对于较大的<math>x</math>，以幂律的速度<math>x^{-a}</math>趋向于0。由于这样的幂总是受到指数分布概率密度函数的限制，因此，胖尾分布始终是重尾分布。

但是，某些分布的尾部趋近于零的速率比指数函数慢（表示它们是重尾），而比幂快（表示它们不是胖尾）。例如对数正态分布<ref>Stephen Lihn (2009). "Skew Lognormal Cascade Distribution". Archived from the original on 2014-04-07. Retrieved 2009-06-12.</ref>。当然，许多其他的重尾分布，例如对数逻辑分布和帕累托分布也属于胖尾分布。

但是，某些分布的尾部趋近于零的速率比指数函数慢（表示它们是重尾），而比幂快（表示它们不是胖尾）。例如对数正态分布<ref>Stephen Lihn (2009). "Skew Lognormal Cascade Distribution". Archived from the original on 2014-04-07. Retrieved 2009-06-12.</ref>。当然，许多其他的重尾分布，例如对数逻辑分布和帕累托分布也属于胖尾分布。

其中<math>X_{(n-k(n)+1,n)}=\max \left(X_{n-k(n)+1},\ldots  ,X_{n}\right)</math>。 此估计量的概率收敛到<math>\xi</math>。

其中<math>X_{(n-k(n)+1,n)}=\max \left(X_{n-k(n)+1},\ldots  ,X_{n}\right)</math>。 此估计量的概率依概率收敛到<math>\xi</math>。

令<math>(X_t , t \geq 1)</math>为具有分布函数<math>F \in D(H(\xi))</math>独立且均匀分布的随机变量序列，其分布函数为广义极值分布<math> H </math>的最大吸引域，其中<math>\xi \in \mathbb{R}</math>。样本路径为<math>{X_t: 1 \leq t \leq n}</math>，其中<math>n</math>为样本大小。 如果<math>\{k(n)\}</math>是中间阶数序列，即<math>k(n) \in \{1,\ldots,n-1\}, </math>，<math>k(n) \to \infty</math>和<math>k(n)/n \to 0</math>，则Hill尾指数估计器为<ref>Hill B.M. (1975) A simple general approach to inference about  the tail of a distribution. Ann. Stat., v. 3, 1163–1174.</ref>：

令<math>(X_t , t \geq 1)</math>为具有分布函数<math>F \in D(H(\xi))</math>独立同分布的随机变量序列，其分布函数为广义极值分布<math> H </math>的最大吸引域，其中<math>\xi \in \mathbb{R}</math>。样本路径为<math>{X_t: 1 \leq t \leq n}</math>，其中<math>n</math>为样本大小。 如果<math>\{k(n)\}</math>是中间阶数序列，即<math>k(n) \in \{1,\ldots,n-1\}, </math>，<math>k(n) \to \infty</math>和<math>k(n)/n \to 0</math>，则Hill尾指数估计器为<ref>Hill B.M. (1975) A simple general approach to inference about  the tail of a distribution. Ann. Stat., v. 3, 1163–1174.</ref>：