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===代数与数论===
===代数与数论===
在为自己关于微分方程系统的奇点研究的博士论文进行辩护之后，庞加莱写了一系列回忆录，题目是《关于微分方程定义的曲线》(1881-1882)。在这些文章中，他建立了一个新的数学分支，称为“定性微分方程理论”。表明，即使微分方程不能用已知函数来求解，但是从方程的形式，可以找到关于解的性质和行为的丰富信息。特别地，庞加莱研究了平面上积分曲线轨迹的性质，给出了<font color="#ff8000">奇点(鞍点、焦点、中心点、节点) Singular points (saddle, focus, center, node)</font>的分类，引入了<font color="#ff8000"> 极限环和环指数Limit cycle and Loop index</font>的概念，并证明了除某些特殊情况外，<font color="#ff8000"> 极限环</font>的个数总是有限的。庞加莱还提出了<font color="#ff8000"> 积分不变量Integral invariants</font>和<font color="#ff8000"> 变分方程Variational equations</font>解的一般理论。对于<font color="#ff8000">有限差分方程 Finite-difference equations</font>，他创造了一个新的方向——解的<font color="#ff8000"> 渐近分析Asymptotic analysis</font>。他应用所有这些成就来研究数学物理和天体力学的实际问题，所使用的方法是其拓扑工作的基础。庞加莱把[[群论]]引入物理学，是第一个研究[[洛伦兹变换]群的人。<ref>Poincaré, Selected works in three volumes. page = 682{{full citation needed|date=September 2019}}</ref> 他还对离散群理论及其表示法做出了重大贡献。
在为自己关于微分方程系统的奇点研究的博士论文进行辩护之后，庞加莱写了一系列回忆录，题目是《关于微分方程定义的曲线》(1881-1882)。在这些文章中，他建立了一个新的数学分支，称为“定性微分方程理论”。表明，即使微分方程不能用已知函数来求解，但是从方程的形式，可以找到关于解的性质和行为的丰富信息。特别地，庞加莱研究了平面上积分曲线轨迹的性质，给出了<font color="#ff8000">奇点(鞍点、焦点、中心点、节点) Singular points (saddle, focus, center, node)</font>的分类，引入了<font color="#ff8000"> 极限环和环指数 Limit cycle and Loop index</font>的概念，并证明了除某些特殊情况外，<font color="#ff8000"> 极限环</font>的个数总是有限的。庞加莱还提出了<font color="#ff8000"> 积分不变量 Integral invariants</font>和<font color="#ff8000"> 变分方程 Variational equations</font>解的一般理论。对于<font color="#ff8000">有限差分方程 Finite-difference equations</font>，他创造了一个新的方向——解的<font color="#ff8000"> 渐近分析 Asymptotic analysis</font>。他应用所有这些成就来研究数学物理和天体力学的实际问题，所使用的方法是其拓扑工作的基础。庞加莱把[[群论]]引入物理学，是第一个研究[[洛伦兹变换]群的人。<ref>Poincaré, Selected works in three volumes. page = 682{{full citation needed|date=September 2019}}</ref> 他还对离散群理论及其表示法做出了重大贡献。
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===拓扑学===
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