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[[Image:330px-YYL1.png|right|thumb|图1：控制一个简单的网络。]]
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'''<font color="#FF8000">网络可控性 Network Controllability </font>'''研究的是网络的结构可控性。可控性描述了我们在有限时间内，通过合适的输入选择，引导动力系统从任何初始状态到任何期望的最终状态的能力。这个定义与我们直观的控制概念非常吻合。一般的有向加权复杂网络的可控性是近年来世界范围内许多研究小组的重点研究课题。夏尔马<ref>{{Cite journal|last=Sharma|first=Ankush|last2=Cinti|first2=Caterina|last3=Capobianco|first3=Enrico|date=2017|title=Multitype Network-Guided Target Controllability in Phenotypically Characterized Osteosarcoma: Role of Tumor Microenvironment|journal=Frontiers in Immunology|language=English|volume=8|pages=918|doi=10.3389/fimmu.2017.00918|pmid=28824643|pmc=5536125|issn=1664-3224}}</ref>等人最近在多种生物学网络(基因-基因、 miRNA-基因、蛋白质-蛋白质相互作用网络)上的研究，确定了骨肉瘤表现型特征的控制目标，显示了基因和蛋白质在维持肿瘤微环境中的重要作用。
'''<font color="#FF8000">网络可控性 Network Controllability</font>'''研究的是网络的结构可控性。可控性描述了我们在有限时间内，通过合适的输入选择，引导动力系统从任何初始状态到任何期望的最终状态的能力。这个定义与我们直观的控制概念非常吻合。一般的有向加权复杂网络的可控性是近年来世界范围内许多研究小组的重点研究课题。夏尔马<ref>{{Cite journal|last=Sharma|first=Ankush|last2=Cinti|first2=Caterina|last3=Capobianco|first3=Enrico|date=2017|title=Multitype Network-Guided Target Controllability in Phenotypically Characterized Osteosarcoma: Role of Tumor Microenvironment|journal=Frontiers in Immunology|language=English|volume=8|pages=918|doi=10.3389/fimmu.2017.00918|pmid=28824643|pmc=5536125|issn=1664-3224}}</ref>等人最近在多种生物学网络(基因-基因、 miRNA-基因、蛋白质-蛋白质相互作用网络)上的研究，确定了骨肉瘤表现型特征的控制目标，显示了基因和蛋白质在维持肿瘤微环境中的重要作用。
=== 最大匹配 ===
=== 最大匹配 ===
在图论中，匹配（图论）是一组没有共同顶点的边。Liu等人<ref name="Liu-Nature-11"/>将此定义扩展到有向图，其中匹配是一组不共享起始或终止顶点的有向边。很容易知道，有向图的匹配由一组顶点不相交的简单路径和周期组成。定向网络的最大匹配可以通过在'''<font color="#FF8000">二部图表示 Bipartite Representation </font>'''中使用经典的'''<font color="#FF8000">Hopcroft-Karp算法 </font>'''来高效地计算，该算法在最坏情况下的时间复杂度是O(''E''{{radic|''N''}})。对于无向图，统计物理中开发的'''<font color="#FF8000">空腔法 Cavity Method </font>'''研究了最大匹配的大小和数量的解析解。<ref name="Zdeborova-06">[[Lenka Zdeborová|L. Zdeborová]] and M. Mezard, ''J. Stat. Mech.'' '''05''' (2006).</ref>Liu等人<ref name="Liu-Nature-11"/>扩展了有向图的计算范围。
在图论中，匹配（图论）是一组没有共同顶点的边。Liu等人<ref name="Liu-Nature-11"/>将此定义扩展到有向图，其中匹配是一组不共享起始或终止顶点的有向边。很容易知道，有向图的匹配由一组顶点不相交的简单路径和周期组成。定向网络的最大匹配可以通过在'''<font color="#FF8000">二部图表示 Bipartite Representation </font>'''中使用经典的'''<font color="#FF8000">Hopcroft-Karp 算法 </font>'''来高效地计算，该算法在最坏情况下的时间复杂度是O(''E'')。对于无向图，统计物理中开发的'''<font color="#FF8000">空腔法 Cavity Method </font>'''研究了最大匹配的大小和数量的解析解。<ref name="Zdeborova-06">L. Zdeborová and M. Mezard, ''J. Stat. Mech.'' '''05''' (2006).</ref>Liu等人<ref name="Liu-Nature-11"/>扩展了有向图的计算范围。
通过计算各种真实网络的最大匹配，Liu等人<ref name="Liu-Nature-11"/>断言驱动节点的数量主要由网络度分布<math>P(k_\mathrm{in}，k_\mathrm{out})</math>决定。他们还使用空腔方法计算了具有任意度分布的网络集合的驱动节点的平均数量。有趣的是，对于'''<font color="#FF8000">链图 Chain Graph </font>'''和'''<font color="#FF8000">弱密集连通图 Weak Densely Connected Graph </font>'''，两者都具有非常不同的进出度分布；Liu等人的公式<ref name="Liu-Nature-11"/>将会计算得出出<math>{n_\mathrm{D}}</math>的相同值。此外，对于许多真实世界地网络，即食物网、神经元和代谢网络，Liu等人计算的<math>{n_\mathrm{D}}^{real}</math> 和 <math>{n_\mathrm{D}}^\mathrm{rand\_degree}</math> 值的不匹配<ref name="Liu-Nature-11"/> 。值得注意的是，如果可控性纯粹由度决定，那为什么<math>{n_\mathrm{D}}^{real}</math>和<math>{n_\mathrm{D}}^\mathrm{rand\_degree}</math>对于许多现实世界的网络来说是如此不同？对于网络中的控制健壮性是否更多地受到基于度的'''<font color="#FF8000">中介中心性 Betweenness Centrality </font>'''和'''<font color="#FF8000">紧密度中心性 Closeness Centrality </font>'''<ref name = "Arxiv_Close_Betw"/>的影响，仍然是开放的。
通过计算各种真实网络的最大匹配，Liu等人<ref name="Liu-Nature-11"/>断言驱动节点的数量主要由网络度分布<math>P(k_\mathrm{in}，k_\mathrm{out})</math>决定。他们还使用空腔方法计算了具有任意度分布的网络集合的驱动节点的平均数量。有趣的是，对于'''<font color="#FF8000">链图 Chain Graph </font>'''和'''<font color="#FF8000">弱密集连通图 Weak Densely Connected Graph </font>'''，两者都具有非常不同的进出度分布；Liu等人的公式<ref name="Liu-Nature-11"/>将会计算得出出<math>{n_\mathrm{D}}</math>的相同值。此外，对于许多真实世界地网络，即食物网、神经元和代谢网络，Liu等人计算的<math>{n_\mathrm{D}}^{real}</math> 和 <math>{n_\mathrm{D}}^\mathrm{rand\_degree}</math> 值的不匹配<ref name="Liu-Nature-11"/> 。值得注意的是，如果可控性纯粹由度决定，那为什么<math>{n_\mathrm{D}}^{real}</math>和<math>{n_\mathrm{D}}^\mathrm{rand\_degree}</math>对于许多现实世界的网络来说是如此不同？对于网络中的控制健壮性是否更多地受到基于度的'''<font color="#FF8000">中介中心性 Betweenness Centrality </font>'''和'''<font color="#FF8000">紧密度中心性 Closeness Centrality </font>'''<ref name = "Arxiv_Close_Betw"/>的影响，仍然是开放的。
== 复合量子系统的控制与代数图论 ==
== 复合量子系统的控制与代数图论 ==
人们还开发了在复合量子系统的通用控制背景下的网络控制理论，其中子系统及其相互作用分别与节点和链路相关联<ref name="BG-07">{{cite journal | last=Burgarth | first=Daniel | last2=Giovannetti | first2=Vittorio | title=Full Control by Locally Induced Relaxation | journal=Physical Review Letters | publisher=American Physical Society (APS) | volume=99 | issue=10 | date=2007-09-05 | issn=0031-9007 | doi=10.1103/physrevlett.99.100501 | page=100501| arxiv=0704.3027 }}</ref>。该框架允许使用代数图论中的工具通过图的最小等级和相关概念来制定'''<font color="#FF8000">卡尔曼准则 Kalman's Criterion </font>'''。<ref name="BDHSY-13">{{cite journal|last1=Burgarth|first1=Daniel|last2=D'Alessandro|first2=Domenico|last3=Hogben|first3=Leslie|author3-link=Leslie Hogben|last4=Severini|first4=Simone|last5=Young|first5=Michael|doi=10.1109/TAC.2013.2250075|issue=9|journal=IEEE Transactions on Automatic Control|mr=3101617|pages=2349–2354|title=Zero forcing, linear and quantum controllability for systems evolving on networks|volume=58|year=2013}}</ref><ref name="OT-15">S. O'Rourke, B. Touri, https://arxiv.org/abs/1511.05080.</ref>
人们还开发了在复合量子系统的通用控制背景下的网络控制理论，其中子系统及其相互作用分别与节点和链路相关联<ref name="BG-07">{{cite journal | last=Burgarth | first=Daniel | last2=Giovannetti | first2=Vittorio | title=Full Control by Locally Induced Relaxation | journal=Physical Review Letters | publisher=American Physical Society (APS) | volume=99 | issue=10 | date=2007-09-05 | issn=0031-9007 | doi=10.1103/physrevlett.99.100501 | page=100501| arxiv=0704.3027 }}</ref>。该框架允许使用代数图论中的工具通过图的最小等级和相关概念来制定'''<font color="#FF8000">卡尔曼准则 Kalman's Criterion </font>'''。<ref name="BDHSY-13">{{cite journal|last1=Burgarth|first1=Daniel|last2=D'Alessandro|first2=Domenico|last3=Hogben|first3=Leslie|author3-link=Leslie Hogben|last4=Severini|first4=Simone|last5=Young|first5=Michael|doi=10.1109/TAC.2013.2250075|issue=9|journal=IEEE Transactions on Automatic Control|pages=2349–2354|title=Zero forcing, linear and quantum controllability for systems evolving on networks|volume=58|year=2013}}</ref><ref name="OT-15">S. O'Rourke, B. Touri, https://arxiv.org/abs/1511.05080.</ref>