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在物理和化学中，'''<font color="#ff8000">自由度 Degree of freedom</font>'''指的是形式化描述某一物理系统的状态时，一个独立的物理量。某一系统所有状态的集合称为该系统的'''<font color="#ff8000">相空间 Phase space</font>'''，该系统的自由度便是相空间的维数。
在物理和化学中，'''<font color="#ff8000">自由度 Degree of freedom</font>'''指的是形式化描述某一物理系统的状态时，一个独立的物理量。某一系统所有状态的集合称为该系统的'''<font color="#ff8000">相空间 Phase space</font>'''，该系统的自由度便是相空间的维数。
在统计力学中，自由度指的是在描述某个系统的微观状态时，单个的标量数。<ref name=":0">{{cite book |last=Reif |first=F. |title=Fundamentals of Statistical and Thermal Physics |year=2009 |publisher=Waveland Press, Inc. |location=Long Grove, IL |isbn=1-57766-612-7 |page=51}}</ref>某个系统所有微观状态的规格参数都是该系统相空间中的一个点。
在统计力学中，自由度指的是在描述某个系统的微观状态时，单个的标量数。<ref name=":0">{{cite book |last=Reif |first=F. |title=Fundamentals of Statistical and Thermal Physics |year=2009 |publisher=Waveland Press, Inc. |location=Long Grove, IL |isbn=1-57766-612-7 |page=51}}</ref>某个系统所有微观状态的规格参数都是该系统相空间中的一个点。
在化学的三维'''<font color="#ff8000">理想链 Ideal chain</font>'''模型中，，需要两个角度来描述每个'''<font color="#ff8000">单体 monomer </font>'''的方向。
在化学的三维'''<font color="#ff8000">理想链 Ideal chain</font>'''模型中，需要两个角度来描述每个'''<font color="#ff8000">单体 monomer </font>'''的方向。
指定二自由度通常很有用。因为它们有助于建立系统能量的二次函数。
指定二自由度通常很有用。因为它们有助于建立系统能量的二次函数。
== 气体分子（Gas molecules） ==
==气体分子==
[[文件:Degrees of freedom (diatomic molecule).png|缩略图|右|可视化双原子分子六个自由度的不同方式。（其中CM：系统的质心，T：平移运动，R：旋转运动，V：振动运动。）]]
[[文件:Degrees of freedom (diatomic molecule).png|缩略图|右|可视化双原子分子六个自由度的不同方式。（其中CM：系统的质心，T：平移运动，R：旋转运动，V：振动运动。）]]
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! [[单原子]]
![[单原子]]
! [[线性分子]]
![[线性分子]]
! [[非线性分子]]
![[非线性分子]]
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| 平移 ({{mvar|x}}, {{mvar|y}}, and {{mvar|z}})
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| 旋转 ({{mvar|x}}, {{mvar|y}}, and {{mvar|z}})
| 旋转 ({{mvar|x}}, {{mvar|y}}, and {{mvar|z}})
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| '''总计''' (不考虑室温下的振动)
|'''总计''' (不考虑室温下的振动)
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| 振动
| 振动
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| '''总计''' (包括振动)
|'''总计''' (包括振动)
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== 独立自由度（Independent degrees of freedom） ==
==独立自由度==
某个系统的自由度{{math|''X''<sub>1</sub>, ... , ''X''<sub>''N''</sub>}}集合，如果集合的能量可以用以下形式表示，则它们是独立的：
某个系统的自由度{{math|''X''<sub>1</sub>, ... , ''X''<sub>''N''</sub>}}集合，如果集合的能量可以用以下形式表示，则它们是独立的：
例如：如果{{math|''X''<sub>1</sub>}} 和 {{math|''X''<sub>2</sub>}}是两个自由度，并且E是关联的能量。
例如：如果{{math|''X''<sub>1</sub>}} 和 {{math|''X''<sub>2</sub>}}是两个自由度，并且E是关联的能量。
* 如果<math>E = X_1^4 + X_2^4</math>，则两个自由度是独立的。
*如果<math>E = X_1^4 + X_2^4</math>，则两个自由度是独立的。
* 如果<math>E = X_1^4 + X_1 X_2 + X_2^4</math>，则两个自由度不是独立的。其中{{math|''X''<sub>1</sub>}}和{{math|''X''<sub>2</sub>}}的乘积是描述两个自由度之间相互作用的耦合项。
*如果<math>E = X_1^4 + X_1 X_2 + X_2^4</math>，则两个自由度不是独立的。其中{{math|''X''<sub>1</sub>}}和{{math|''X''<sub>2</sub>}}的乘积是描述两个自由度之间相互作用的耦合项。
这里的i值可以取1到N，第i个自由度Xi的值依据'''<font color="#ff8000">波尔兹曼分布 Boltzmann distribution </font>'''。其'''<font color="#ff8000">概率密度函数 Probability density function</font>'''如下：
这里的i值可以取1到N，第i个自由度Xi的值依据'''<font color="#ff8000">波尔兹曼分布 Boltzmann distribution </font>'''。其'''<font color="#ff8000">概率密度函数 Probability density function</font>'''如下：
: <math>p_i(X_i) = \frac{e^{-\frac{E_i}{k_B T}}}{\int dX_i \, e^{-\frac{E_i}{k_B T}}}</math>,
:<math>p_i(X_i) = \frac{e^{-\frac{E_i}{k_B T}}}{\int dX_i \, e^{-\frac{E_i}{k_B T}}}</math>,
在本节以及整篇文章中，方括号<math>\langle \rangle</math>表示其所包含数量的平均值。
在本节以及整篇文章中，方括号<math>\langle \rangle</math>表示其所包含数量的平均值。
:<math>\langle E \rangle = \sum_{i=1}^N \langle E_i \rangle.</math>
:<math>\langle E \rangle = \sum_{i=1}^N \langle E_i \rangle.</math>
== 二次自由度（Quadratic degrees of freedom） ==
==二次自由度==
如果与该自由度相关的能量项可以写成如下等式，则自由度{{mvar|X<sub>i</sub>}}是二次的
如果与该自由度相关的能量项可以写成如下等式，则自由度{{mvar|X<sub>i</sub>}}是二次的
例如：如果{{math|''X''<sub>1</sub>}} 和 {{math|''X''<sub>2</sub>}}是两个自由度，而E是关联的能量：
例如：如果{{math|''X''<sub>1</sub>}} 和 {{math|''X''<sub>2</sub>}}是两个自由度，而E是关联的能量：
* 如果<math>E = X_1^4 + X_1^3 X_2 + X_2^4</math>，则两个自由度既不是独立的也非二次的。
*如果<math>E = X_1^4 + X_1^3 X_2 + X_2^4</math>，则两个自由度既不是独立的也非二次的。
* 如果<math>E = X_1^4 + X_2^4</math>，则两个自由度是独立的但非二次的。
* 如果<math>E = X_1^4 + X_2^4</math>，则两个自由度是独立的但非二次的。
* 如果<math>E = X_1^2 + X_1 X_2 + 2X_2^2</math>，则两个自由度不是独立的，而是二次的。
*如果<math>E = X_1^2 + X_1 X_2 + 2X_2^2</math>，则两个自由度不是独立的，而是二次的。
* 如果<math>E = X_1^2 + 2X_2^2</math>，则两个自由度既是独立的并且是二次的。
*如果<math>E = X_1^2 + 2X_2^2</math>，则两个自由度既是独立的并且是二次的。
例如，在牛顿力学中，一个二自由度的动力学系统是由一组具有恒定系数的'''<font color="#ff8000">齐次线性微分方程 homogeneous linear differential equations </font>'''控制的。
例如，在牛顿力学中，一个二自由度的动力学系统是由一组具有恒定系数的'''<font color="#ff8000">齐次线性微分方程 homogeneous linear differential equations </font>'''控制的。
=== 二次独立的自由度（Quadratic and independent degree of freedom） ===
===二次独立的自由度===
如果能量与系统的微观状态有关，则{{math|''X''<sub>1</sub>, ... , ''X''<sub>''N''</sub>}}是二次独立的自由度，它们可以写成：
如果能量与系统的微观状态有关，则{{math|''X''<sub>1</sub>, ... , ''X''<sub>''N''</sub>}}是二次独立的自由度，它们可以写成：
:<math>E = \sum_{i=1}^N \alpha_i X_i^2</math>
:<math>E = \sum_{i=1}^N \alpha_i X_i^2</math>
=== 能量均分定理（Equipartition theorem） ===
===能量均分定理===
在统计力学的经典极限中，在'''<font color="#ff8000">热力学平衡 Thermodynamic equilibrium</font>'''状态下，N个二次且独立自由度的系统内部能量为：
在统计力学的经典极限中，在'''<font color="#ff8000">热力学平衡 Thermodynamic equilibrium</font>'''状态下，N个二次且独立自由度的系统内部能量为：
: <math>U = \langle E \rangle = N\,\frac{k_B T}{2}</math>
:<math>U = \langle E \rangle = N\,\frac{k_B T}{2}</math>
此时，与自由度相关的平均能量为：
此时，与自由度相关的平均能量为：
由于自由度是独立的，因此系统的内部能量等于每个自由度带有的平均能量之和，由此得到了结果。
由于自由度是独立的，因此系统的内部能量等于每个自由度带有的平均能量之和，由此得到了结果。
== 总结 ==
==总结==
尽管在数学上很方便，但将系统状态描述为相空间中的一个点，从根本上讲是不准确的。在量子力学中，体系运动状态的自由度被波函数的概念所取代，并且对应于其他自由度的'''<font color="#ff8000">算子 Operator</font>'''具有离散的光谱。例如，电子或光子的本征'''<font color="#ff8000">角动量算符 Angular momentum operator </font>'''（对应于转动自由度）只有两个特征值。当运动具有'''<font color="#ff8000">普朗克常数 Planck constant</font>'''的量级时，这种离散变得非常明显，并且可以区分出各个自由度。
尽管在数学上很方便，但将系统状态描述为相空间中的一个点，从根本上讲是不准确的。在量子力学中，体系运动状态的自由度被波函数的概念所取代，并且对应于其他自由度的'''<font color="#ff8000">算子 Operator</font>'''具有离散的光谱。例如，电子或光子的本征'''<font color="#ff8000">角动量算符 Angular momentum operator </font>'''（对应于转动自由度）只有两个特征值。当运动具有'''<font color="#ff8000">普朗克常数 Planck constant</font>'''的量级时，这种离散变得非常明显，并且可以区分出各个自由度。
==References==
==参考文献==
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[[Category:Concepts in physics]]
[[Category:物理概念]]
[[Category:维度]]
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