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| 重整化方法的出发点是基于Ising模型在临界状态下具有广泛的不同标度之间的相似性。然而,这种自相似性具体指的是什么呢? | | 重整化方法的出发点是基于Ising模型在临界状态下具有广泛的不同标度之间的相似性。然而,这种自相似性具体指的是什么呢? |
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| 首先,我们需要从不同的尺度来观察Ising模型。然而,Ising模型本身就是一个N个小磁针构成的晶格系统,晶格之间的距离已经是最小尺度了,我们无法再观察更小尺度的系统。但是,我们可以从更大的尺度来观察Ising模型。这就意味着,我们需要对一些小磁针进行'''信息的忽略''',从而获得对系统的更粗的描述。这一过程就成为“[[粗粒化]]”(Coase Graining)过程。 | | 首先,我们需要从不同的尺度来观察Ising模型。然而,Ising模型本身就是一个N个小磁针构成的晶格系统,晶格之间的距离已经是最小尺度了,我们无法再观察更小尺度的系统。但是,我们可以从更大的尺度来观察Ising模型。这就意味着,我们需要对一些小磁针进行'''信息的忽略''',从而获得对系统的更粗的描述。这一过程就成为“[[粗粒化]]”(Coase Graining)过程。 |
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| 其次,我们应如何定义同一个Ising模型不同的尺度下的相似性呢?我们知道,Ising模型是一个包含了随机演化的动力学过程,而不是一个简单的静态图形,因此,我们并不能简单地套用[[分形]]的方法来处理Ising模型。那么,在诸多因素中,哪一个是制约Ising模型最核心的因素呢?根据统计力学,我们知道,这个核心因素就是[[配分函数]]Z(H,T)。这是因为,从配分函数出发,我们可以得到一切热力学量。 | | 其次,我们应如何定义同一个Ising模型不同的尺度下的相似性呢?我们知道,Ising模型是一个包含了随机演化的动力学过程,而不是一个简单的静态图形,因此,我们并不能简单地套用[[分形]]的方法来处理Ising模型。那么,在诸多因素中,哪一个是制约Ising模型最核心的因素呢?根据统计力学,我们知道,这个核心因素就是[[配分函数]]Z(H,T)。这是因为,从配分函数出发,我们可以得到一切热力学量。 |
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| 我们已知,Ising模型的稳态分布为: | | 我们已知,Ising模型的稳态分布为: |
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| 这是著名的[[玻尔兹曼分布]],其中Z为概率归一化常数,也是H和T的函数,因此成为配分函数,它可以写为: | | 这是著名的[[玻尔兹曼分布]],其中Z为概率归一化常数,也是H和T的函数,因此成为配分函数,它可以写为: |
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| Z(H,T)=\sum_{\{s_i\}}\exp(-\frac{E_{\{s_i\}}}{kT}) | | Z(H,T)=\sum_{\{s_i\}}\exp(-\frac{E_{\{s_i\}}}{kT}) |
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| 通过Z(H,T),我们可以求出一切Ising模型的热力学量。例如,配分函数对外场H求导就可以得出平均磁场强度。 | | 通过Z(H,T),我们可以求出一切Ising模型的热力学量。例如,配分函数对外场H求导就可以得出平均磁场强度。 |
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第34行: |
| \frac{\partial{\ln{Z(T,H)}}}{\partial{H}}=\frac{1}{Z}\sum_{\{s_i\}}{\frac{\sum_{i=1}^N {s_i}}{kT}}\exp{(-\frac{\sum_{\{s_i\}}E_{\{s_i\}}}{kT})}=\frac{\langle M\rangle}{kT} | | \frac{\partial{\ln{Z(T,H)}}}{\partial{H}}=\frac{1}{Z}\sum_{\{s_i\}}{\frac{\sum_{i=1}^N {s_i}}{kT}}\exp{(-\frac{\sum_{\{s_i\}}E_{\{s_i\}}}{kT})}=\frac{\langle M\rangle}{kT} |
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| 对H的二阶导数就是磁导率: | | 对H的二阶导数就是磁导率: |
第34行: |
第41行: |
| \chi=kT\frac{\partial {^2\ln{Z(T,H)}}}{\partial{H^2}} | | \chi=kT\frac{\partial {^2\ln{Z(T,H)}}}{\partial{H^2}} |
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| 对温度T求二阶导数就是比热: | | 对温度T求二阶导数就是比热: |
第40行: |
第48行: |
| c=-T\frac{\partial^2{\ln{Z}}}{\partial{T^2}} | | c=-T\frac{\partial^2{\ln{Z}}}{\partial{T^2}} |
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| 因此,只要配分函数的函数形式确定之后,系统的一切热力学性质就都确定下来了。这样,当我们说Ising模型在两个尺度彼此相似的时候,实际上是在说两个不同尺度下的配分函数形式相同。 | | 因此,只要配分函数的函数形式确定之后,系统的一切热力学性质就都确定下来了。这样,当我们说Ising模型在两个尺度彼此相似的时候,实际上是在说两个不同尺度下的配分函数形式相同。 |
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| 总结来看,重整化操作实际上包含两大步骤,(1)对系统进行粗粒化,从两个不同的尺度上描述Ising模型;(2)写出两个不同尺度下的配分函数,让它们的形式彼此相同。根据这个条件,我们就可以写出重整化群方程,从而计算出我们想要的值。 | | 总结来看,重整化操作实际上包含两大步骤,(1)对系统进行粗粒化,从两个不同的尺度上描述Ising模型;(2)写出两个不同尺度下的配分函数,让它们的形式彼此相同。根据这个条件,我们就可以写出重整化群方程,从而计算出我们想要的值。 |
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| ===一维ISING模型的重整化=== | | ===一维ISING模型的重整化=== |