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|description=西尔韦斯特方程是控制论中的矩阵方程。
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'''西尔韦斯特方程'''是控制论中的矩阵方程，形式如下<ref>这个方程也有常见的等价形式 ''AX'' − ''XB'' = ''C''.</ref>:
'''西尔韦斯特方程'''是控制论中的矩阵方程，形式如下<ref>这个方程也有常见的等价形式 ''AX'' − ''XB'' = ''C''.</ref>:
<math>A X + X B = C.</math>
<math>A X + X B = C.</math>
其中''A''，''B''，''C''为已知的矩阵，问题是要找到能够满足方程的矩阵X。所有矩阵的系数都是复数。为了使方程有意义，矩阵的行和列需要满足一定条件，''A''和 ''B'' 都要是方阵，大小分别是''n''和''m''，而''X''和''C''要是''n x'' ''m''列的矩阵，''n''和''m''也可以相等，四个矩阵都是大小相同的方阵。
其中''A''，''B''，''C''为已知的矩阵，问题是要找到能够满足方程的矩阵X。所有矩阵的系数都是复数。为了使方程有意义，矩阵的行和列需要满足一定条件，''A''和 ''B'' 都要是方阵，大小分别是''n''和''m''，而''X''和''C''要是''n x'' ''m''列的矩阵，''n''和''m''也可以相等，四个矩阵都是大小相同的方阵。
当且仅当 ''A'' 和-''b'' 没有共同的本征值时，西尔韦斯特有唯一解 ''X'' 。更一般地，方程 <math>A X + X B = C.</math> 也可以视为(可能无限维中)巴拿赫空间中有界算子的方程。在这种情况下，此情形下，有唯一解 ''X'' 的充分必要条件几乎相同: ''A'' 和-''B'' 的谱不相交<ref>Bhatia and Rosenthal, 1997</ref>。
当且仅当 ''A'' 和-''b'' 没有共同的本征值时，西尔韦斯特有唯一解 ''X'' 。更一般地，方程 <math>A X + X B = C.</math> 也可以视为(可能无限维中)巴拿赫空间中有界算子的方程。在这种情况下，此情形下，有唯一解 ''X'' 的充分必要条件几乎相同: ''A'' 和-''B'' 的谱不相交<ref>Bhatia and Rosenthal, 1997</ref>。
==解的存在及唯一==
==解的存在及唯一==
利用克罗内克积符号和向量化算子操作符<math>\operatorname{vec}</math>，我们可以以下形式重写韦斯特方程:
利用克罗内克积符号和向量化算子操作符<math>\operatorname{vec}</math>，我们可以以下形式重写韦斯特方程:
:<math> (I_m \otimes A + B^T \otimes I_n) \operatorname{vec}X = \operatorname{vec}C,</math>
:<math> (I_m \otimes A + B^T \otimes I_n) \operatorname{vec}X = \operatorname{vec}C,</math>
其中 ''A'' 是 ''n'' ''×'' ''m''的矩阵，''B'' 是''m'' ''×'' ''m''的矩阵，''X'' 是''n'' ''×'' ''m''的矩阵，<math>I_k</math> 是 <math>k \times k</math>的单位矩阵。在这种形式下，该方程可以看作是一个大小为<math>mn \times mn</math>的线性系统<ref>然而，不建议为了数值解重写这种形式的方程，因为这个版本计算代价较高，并且存在病态。</ref>。然而，不建议为了数值解重写这种形式的方程，因为这个版本计算代价较高，并且存在病态。
其中 ''A'' 是 ''n'' ''×'' ''m''的矩阵，''B'' 是''m'' ''×'' ''m''的矩阵，''X'' 是''n'' ''×'' ''m''的矩阵，<math>I_k</math> 是 <math>k \times k</math>的单位矩阵。在这种形式下，该方程可以看作是一个大小为<math>mn \times mn</math>的线性系统<ref>然而，不建议为了数值解重写这种形式的方程，因为这个版本计算代价较高，并且存在病态。</ref>。然而，不建议为了数值解重写这种形式的方程，因为这个版本计算代价较高，并且存在病态。