树的异速标度律

树的实例，节点中的数字为A_i，旁边的数字为C_i

所谓树的异速标度律是指C_i和A_i之间的幂律关系：

[math]\displaystyle{ C_i=cA_i^{\eta} }[/math]

其中A_i是指以任意节点i为根的子树所包含的节点的个数，而C_i则是指该子树上所有节点的A_j之和，即：

[math]\displaystyle{ C_i=\sum_{j\in Tree_i}A_j }[/math]

其中Tree_i表示以i为根的子树。c为一常数，η为异速标度律指数，它表示该树的垂直化程度。若整个树越扁平，则η指数越小，反之η越大。

右图展示了一棵树的实例，每个节点的A_i写在了节点中，而C_i则写到了每个节点的旁边。

链和星状结构

为了展示η指数与树的扁平化程度之间的关系。我们来看两个极端的例子，一个是星型的网络，它是一种极端的扁平化结构，另外一个是一条链，它是一种极端的垂直的结构。

假设树中的节点总数就是N，对于左图链状结构来说，从尾端数第i个节点的：

[math]\displaystyle{ A_i=i }[/math]

该节点的C_i为：

[math]\displaystyle{ C_i=\sum_{j=1}^i A_j=\sum_{j=1}^ij=\frac{j(j+1)}{2}=\frac{A_i(A_i+1)}{2}\sim A_i^2 }[/math]

因此，链状网络的异速标度律指数为2。而对于星型节点来说，所有叶节点的A_i=C_i=1，但是树根的

[math]\displaystyle{ A_i=N }[/math]

而：

[math]\displaystyle{ C_i=N+1\times N=2N=2A_i\sim A_i }[/math]

所以，对于星形树来说，异速标度律指数η=1。对于更一般的树，它一定介于完全的链状结构和星型结构之间，因此幂律指数η就介于1和2之间。

生成树的异速标度律

Frank和Murrell等人更进一步地探索了树状结构与异速标度律指数之间的关系。首先，它们构建了一个简单的随机生成树模型，该模型模拟了树的随机生长。该模型有两个参数β和θ，它们控制了整个树的形状。β控制的是与根节点直接相连的节点占总节点数的比例，θ控制的是树的平均深度。

首先，让βN个节点附着在根节点上，形成第一层节点； 然后，在每一时刻，就会有一个节点加入该树状结构中，其中这个新加节点j会随机地附着在某一个该树上的节点i上作为i的子节点，那么，附着在i上的概率由i所在树的深度决定，即按照概率：

[math]\displaystyle{ P_{ij}=\frac{t_i^{-\theta}}{\sum_{k\in Tree}t_k^{-\theta}} }[/math]

其中t_k表示k节点所在的深度。也就是说j会优先附着在t_i^-θ较大的节点上。如果θ越大，则j更偏好离根较近的节点，反之则更倾向于附着在较深的节点上。 所以如果θ越大，β越小，就会得到越深的树。

下面，我们来看两棵由模型生成的树（β相同，都为0.1）：

接下来，我们就可以变换不同的θ和β的组合而创造不同的树结构，并计算出这些树的η数值。

这是2张等高线图，其中横坐标和纵坐标分别为θ和β，等高线标示了η（上）和平均路径长度（下，也就是树的平均深度）。可以看出，随着θ的升高，η在变小，同时平均路径长度在变小，这说明树在变得不断地扁平。同时，随着β的升高，η和平均路径长度也在变小。由此可以看出，实际上η和平均路径长度是正相关的，如下图：

η的含义

在文章和中，作者将η解释为输运树的效率，其中输运效率是指从源（根）到所有节点的平均路径长度。因此，路径越短，整个树越有效率。

如果从扁平化和垂直化的角度来说，η也可以理解为网络的集中性程度。如果将整个树理解为一个公司的组织架构，那么η越大，结构越垂直化，因此权利越集中在树的上层，反过来，树状结构越扁平，权利越分散。

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