拐点

Plot of y = x³的函数图像，(0,0)是其拐点 ，也是驻点

在微分和微分几何中，拐点（英文名为inflection point，point of infection,，flex，或者inflection）是光滑平面曲线上的曲率符号改变的点。在函数图像中，拐点处函数从下凹变为上凸 ，或从上凸变为下凹。

对于微分类C²的函数的图形（f，其一阶导数f'和其二阶导数 f存在且连续），条件f = 0也可用于找到拐点因为必须传递f = 0的点以将f从正值（向上凹）更改为负值（向下凹），反之亦然，因为f是连续的；曲线的拐点是f = 0并在该点改变其符号（从正到负或从负到正）。[1]其中，第二导数消失，但不改变其正负号的点有时被称为起伏的点或起伏点。

例如，若曲线 y = f(x) 有二阶导数，那么拐点处曲线二阶导数 f'' 为0（f'' =0），并且符号改变（从正到负或从负到正） 。二阶导数为0但其符号不变的点有时称为波动点 point of undulation。

在代数几何中，拐点的定义更为广泛一些，如切线与曲线相切的正则点至少为3，波动点或超高频点则定义为切线与曲线相交处至少为4。

定义

在微分几何中，拐点是曲率符号改变的点。

例如，当且仅当可微函数 f 的一阶导数 f' 在 x 处具有孤立极值时（而不是极值），函数在 (x, f(x))处有拐点。也就是说，在某些邻域中，x 是 f' 具有（局部）最小值或最大值的唯一点。如果所有 f' 的极值都是孤立的，那么拐点就是 f 曲线图上切线穿越曲线的点。

下降拐点的两边导数都为负，即在该点附近函数值变小。上升拐点的两边导数都为正，即在该点附近函数值变大。

对于一条代数曲线，当且仅当切线与曲线（在切点处）的交点数大于2时，非奇点为拐点。

其主要结果是代数曲线拐点的集合与曲线同黑塞曲线 (Hessian curve) 的交点集合一致。

对于由参数方程组给出的光滑曲线，若某点处曲率符号改变（从正变为负或从负变为正），则该点就是拐点。

对于一条二次可微函数的光滑曲线，拐点是的二次导数具有孤立零值并且改变曲率符号的点。

f(x) = sin(2x) 从[math]\displaystyle{ \pi /4 }[/math]到[math]\displaystyle{ 5 \pi /4 }[/math]; 该函数二阶导数为[math]\displaystyle{ {f}''(x) = –4sin(2x) }[/math], 和f符号相反。曲线为凸时（函数在切线上方）切线颜色为蓝色，曲线为凹时（函数在切线下方）切线颜色为绿色，拐点颜色为红色：0, [math]\displaystyle{ \pi /2 }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \pi }[/math]

必要非充分条件

如果二阶导数f"(x)在点 x₀ 处存在，且 x₀ 是该函数的拐点，那么f"(x₀) = 0。然而，即使存在任意阶的导数，这也只是拐点的必要非充分条件。在这种情况下，若最低阶(第二阶以上)非零导数为奇数阶(第三阶、第五阶等)，则该点是拐点；若最低阶非零导数为偶数阶，则该点不是拐点，而是波动点。但在代数几何中，波动点也是拐点。例如，函数 f(x) = x⁴ 的波动点是 x = 0 。

前面我们假定 f 在 x 处存在高阶非零导数，但并不一定存在。如果 f 在 x 处存在高阶非零导数，第一个非零导数有奇数阶意味着[math]\displaystyle{ {f}'(x) }[/math]的符号在某邻域的任一边都是相同的。如果符号为正，那么这个点就是上升拐点；如果符号为负，那么这个点就是下降拐点。

拐点充分条件:

1）第一充分条件：设函数在点 x 的某邻域 k 阶连续可微，k 为奇数且 k ≥ 3，若 f⁽ⁿ⁾(x₀) = 0 ( n = 2, …, k − 1) 且 f^(k)(x₀) ≠ 0 ，那么点 x₀ 是 f(x) 的拐点。

2）第二充分条件：f"(x + ε)和f"(x − ε)在x邻域符号相反。

拐点的分类

y = x⁴ – x,x在点 (0,0) 处二阶导数为0，但 (0,0) 不是拐点，因为其四阶导数是一阶非零导数（三阶导数也是零）。

拐点也可以根据[math]\displaystyle{ {f}'(x) }[/math]是否为0来进行分类。

• 若[math]\displaystyle{ {f}'(x) }[/math]为0，该点为驻点拐点。
• 若[math]\displaystyle{ {f}'(x) }[/math]不为0，该点为非驻点拐点。

驻点拐点不是局部极值点。在多实变量函数中，不是局部极值点的驻点通常被称为鞍点。

驻点拐点例子：(0, 0) 为函数 y = x³ 的驻点 。切线为 x 轴，在(0, 0)与函数相切。

非驻点拐点例子：(0, 0)为函数 y = x³ + ax 的非驻点（a为任意非零常数）。切线为 y = ax，在(0, 0)与函数相切。

非连续函数

有些函数虽然没有拐点但也可改变凹度。这些函数可以通过改变垂直渐近线或非连续性来改变凹度。例如，函数[math]\displaystyle{ x\mapsto \frac1x }[/math] 在函数值x为负时显凹性，在函数值x为正时显凸性。但这个函数不具有拐点，因为0不在其定义域内。

另见

• 临界点

• 海塞配置 Hesse configuration 被椭圆曲线上九个拐点所组成

• S形曲线，具有一个拐点的建筑型式曲线

• 顶点（曲线），曲线的局部最小或局部最大值点

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