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| 理想情况下,这些的每一个都应由不同的符号表示,而且应该是清晰的函数,链接每个结构到他们的因果态。为了保持术语增涨受控,尽管这样,我们还是战略性地模糊掉他们的区别。读者或许以各种方式绘制ε为映射历史到(i)简单索引,(ii)历史的子集,或(iii)索引、子集、和变体的有序三元组;或甚至某人让ε没有解释性,如同偏好所向,不干涉随后的发展。 | | 理想情况下,这些的每一个都应由不同的符号表示,而且应该是清晰的函数,链接每个结构到他们的因果态。为了保持术语增涨受控,尽管这样,我们还是战略性地模糊掉他们的区别。读者或许以各种方式绘制ε为映射历史到(i)简单索引,(ii)历史的子集,或(iii)索引、子集、和变体的有序三元组;或甚至某人让ε没有解释性,如同偏好所向,不干涉随后的发展。 |
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− | 图 2. 一个表示将所有历史的集合S<-划分到因果态Si ∈S的示意图。在每个因果态中所有的单独历史s<-拥有相同的变体——对将来对测相同的条件分布P(S->|s<-)。
| + | 图 2. 一个表示将所有历史的集合S<-划分到因果态Si ∈S的示意图。在每个因果态中所有的单独历史s<-拥有相同的变体——对将来对测相同的条件分布P(S->|s<-)。 |
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| 1. 变体 | | 1. 变体 |
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| 每一个因果态拥有独特的变体,比如,没有两个因果态拥有对未来相同的条件分布。这条直接来自定义5,而且它一般不是实际状态。另一个定义的直接结果是 | | 每一个因果态拥有独特的变体,比如,没有两个因果态拥有对未来相同的条件分布。这条直接来自定义5,而且它一般不是实际状态。另一个定义的直接结果是 |
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− | P(S->=s->|S=ϵ(s<-)) = P(S->=s->|S<- = s<-). (18) | + | <math> |
| + | P(\overset{\to}{S}= \overset{\to}{s} \vert S = ϵ(\overset{\leftarrow}{s})) = P(\overset{\to}{S} = \overset{\to}{s} \vert \overset{\leftarrow}{S} = \overset{\leftarrow}{s}). \tag{18} |
| + | </math> |
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| (再一次,这点对实际状态通常不是真的。)这种观测让我们证明一个有用的引理,关于过去S<-和未来S->条件无关。 | | (再一次,这点对实际状态通常不是真的。)这种观测让我们证明一个有用的引理,关于过去S<-和未来S->条件无关。 |
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| 证明。回忆起两个随机变量X和Z是条件无关的,当且仅当有第三个变量Y符合 | | 证明。回忆起两个随机变量X和Z是条件无关的,当且仅当有第三个变量Y符合 |
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− | P(X = x, Y = y, Z = z) = P(X = x| Y = y)P(Z = z|Y = y)P(Y = y).(19) | + | <math> |
| + | P(X = x, Y = y, Z = z) = P(X = x \vert Y = y)P(Z = z \vert Y = y)P(Y = y) . \tag{19} |
| + | </math> |
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| 也就是,所有Z在X上的依赖,已经被Y斡旋了。为了接下来的描述方便,我们提出,重构条件分布,等同于约束: | | 也就是,所有Z在X上的依赖,已经被Y斡旋了。为了接下来的描述方便,我们提出,重构条件分布,等同于约束: |
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− | P(X = x, Y = y, Z = z) = P(Z = z|Y = y)P(Y = y|X = x)P(X = x). (20) | + | <math> |
| + | P(X = x, Y = y, Z = z) = P(Z = z \vert Y = y)P(Y = y \vert X = x)P(X = x) . \tag{20} |
| + | </math> |
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| + | |
| + | 让我们考虑<math>P(\overset{\leftarrow}{S}=\overset{\leftarrow}{s}, S = σ, \overset{\to}{S}=\overset{\to}{s}).</math> |
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| + | <math> |
| + | \begin{aligned} |
| + | P & (\overset{\leftarrow}{S}=\overset{\leftarrow}{s}, S = σ, \overset{\to}{S}=\overset{\to}{s}) \ (21) \\ |
| + | & = P(\overset{\to}{S}=\overset{\to}{s} \vert S = σ, \overset{\leftarrow}{S}=\overset{\leftarrow}{s})P(S = σ, \overset{\leftarrow}{S}=\overset{\leftarrow}{s}) \\ |
| + | & = P(\overset{\to}{S}=\overset{\to}{s} \vert S = σ, \overset{\leftarrow}{S}=\overset{\leftarrow}{s})P(S = σ \vert \overset{\leftarrow}{S}=\overset{\leftarrow}{s})P(\overset{\leftarrow}{S}=\overset{\leftarrow}{s}) . |
| + | \end{aligned} |
| + | </math> |
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− | 让我们考虑P(S<- = s<-, S = ρ, S-> = s->).
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− | P(S<- = s<-, S = ρ, S-> = s->)
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− | = P(S->=s->|S = ρ, S<- = s<-)P(S = ρ, S<- = s<-) (21)
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− | = P(S->=s->|S = ρ, S<- = s<-)P(S = ρ|S<- = s<-)P(S<-=s<-).
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| 现在,P(S = ρ|S<- = s<-) = 0, 直到ρ = ϵ(s<-), 在这种情况P(S = ρ| S<- = s<-) = 1. 每种情况,在等式(21)最后一行前面两个因子可以写成等式(18), | | 现在,P(S = ρ|S<- = s<-) = 0, 直到ρ = ϵ(s<-), 在这种情况P(S = ρ| S<- = s<-) = 1. 每种情况,在等式(21)最后一行前面两个因子可以写成等式(18), |
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