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第56行： − ===早期相关工作=== − Hoel等人<ref name=":0" />提出的因果涌现理论之前，已经有一些相关的工作引入与因果涌现理论非常相似的思想。例如，Crutchfield等<ref name=":3">J. P. Crutchfield, K. Young, Inferring statistical complexity, Physical review letters 63 (2) (1989) 105.</ref>提出的计算力学理论考虑了因果状态，该方法是对状态空间的划分。而Seth等人则提出了G-emergence理论<ref name=":4">A. K. Seth, Measuring emergence via nonlinear granger causality., in: alife, Vol. 2008, 2008, pp. 545–552.</ref>利用格兰杰因果关系来量化涌现。 − ====计算力学==== − 计算力学理论试图用定量的框架来表述涌现的因果关系，希望从一个随机过程的观测中构造一个最小的因果模型，从而来产生观测的时间序列<ref name=":3" />。其中随机过程可以用<math>\overleftrightarrow{s}</math>表示，基于时间<math>t</math>可以将随机过程分为两个部分，时间前和时间后的过程，<math>\overleftarrow{s_t}</math>和<math>\overrightarrow{s_t}</math>，当这个过程是平稳过程时，可以去掉时间。因此，可以将所有可能的历史过程<math>\overleftarrow{s_t}</math>形成的集合记作<math> \overleftarrow{S}</math>，所有未来的过程形成的集合记作<math> \overrightarrow{S}</math>。可以将<math>\overleftarrow{S}</math>分解为相互排斥又联合全面的子集，形成的集合记为<math>\mathcal{R}</math>，<math>R \in \mathcal{R}</math>中的任意子集可以看作是一个状态，定义一个分解函数<math>\eta:S→\mathcal{R}</math>。 − − 此外，定义了因果等价的概念，如果<math>P\left ( \overrightarrow{s}|\overleftarrow{s}\right )=P\left ( \overrightarrow{s}|{\overleftarrow{s}}'\right )</math>，则<math>\overleftarrow{s}</math>和<math>{\overleftarrow{s}}'</math>（表示<math>\overleftarrow{s}</math>的子集）是因果等价的。将历史<math>\overleftarrow{s_t}</math>的所有因果状态定义为<math>\epsilon \left ( \overleftarrow{s} \right )</math>，将两个因果状态<math>S_i</math>和<math>S_j</math>之间的因果转移概率记为<math>T_{ij}^{\left ( s \right )}</math>，一个随机过程的<math>\epsilon-machine</math>被定义为有序对<math>\left \{ \epsilon,T \right \}</math>，是一种模式发现机器，其中<math>\epsilon</math>是因果状态函数， <math>T</math>是通过<math>\epsilon</math>定义的状态转移矩阵的集合。通过证明<math>\epsilon-machine</math>具有最大程度的预测性和最小程度的随机性这两个重要特性验证了它在某种意义上是最优的。 − − 该方法没有给出涌现的明确定义和定量理论，随后一些研究人员进一步推进了计算力学的发展，Shalizi等<ref>C. R. Shalizi, C. Moore, What is a macrostate? subjective observations and objective dynamics, arXiv preprint cond-mat/0303625 (2003).</ref>在自己的工作中讨论计算力学与涌现的关系，同时在另一个工作中，Shalizi等<ref>C. R. Shalizi, Causal architecture, complexity and self-organization in time series and cellular automata, The University of Wisconsin-Madison, 2001.</ref>还将计算力学应用于元胞自动机，并且在更高的描述水平上发现涌现的“粒子”。 − − ====G-emergence理论==== − G-emergence理论是Seth于2008年提出的最早对涌现进行定量量化的研究之一<ref name=":4" />，基本思想是用非线性格兰杰因果来量化复杂系统中的弱涌现。具体来说，使用二元自回归模型进行预测，当只存在两个变量A和B时，自回归模型存在两个等式，每个等式对应其中一个变量每个时刻值的构成，每个变量的当前时刻值都是由自身变量和另外一个变量在滞后时间范围内的变量以及残差项构成，残差可以理解为预测误差，残差可以用来衡量格兰杰因果（G-causality）的因果效应程度。B作为A的格兰杰因（G-cause）的程度通过两个残差方差之比的对数来计算，其中一个是在省略B的所有项时A的自回归模型的残差，另一个是全预测模型的残差。此外，作者还定义了G-autonomous，表示一个时间序列的过去值可以帮助预测自身的未来值。G-autonomous的程度可以用类似量化格兰因果的方法来测量。 − [[文件:G-emergence.png|G-emergence理论图|alt=G-emergence理论图|居中|546x546像素|缩略图]] − 基于上述G-causality中的两个基本概念，可以来判断涌现的发生(这里是基于格兰杰因果的涌现的衡量，记作G-emergence)。如果把A理解为宏观变量，B理解为微观变量。发生涌现的条件包含两个：1）A是关于B的G-autonomous；2）B是A的G-cause。其中G-emergence的程度是通过A的G-autonomous的程度与B的平均G-cause的程度的乘积来计算。 − − Seth提出的G-emergence理论首次尝试使用因果关系来量化涌现现象，然而，作者使用的因果关系是格兰杰因果，这不是一个严格的因果关系，同时结果也取决于所使用的回归方法。此外，方法的度量指标是根据变量而不是动力学定义的，这意味着结果会依赖于变量的选择。因此，该方法还存在很多不足，Erik等人提出的因果涌现框架能有效解决这些问题。
→因果涌现的量化
==因果涌现的量化==
==因果涌现的量化==
===因果涌现的定义===
===因果涌现的定义===