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自从熵仅依赖于概率分布，<math>H[\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{S}] = H[\overset{\to L}{S} \vert \overset{\gets}{S}]</math>，对于每个L。因此，<math>H[\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{R}] \ge H[\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{S}]</math>，对于所有的L。证毕。

自从熵仅依赖于概率分布，<math>H[\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{S}] = H[\overset{\to L}{S} \vert \overset{\gets}{S}]</math>，对于每个L。因此，<math>H[\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{R}] \ge H[\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{S}]</math>，对于所有的L。证毕。

备注。这就是说，因果态在预测未来方面是一样优秀的——作为预测者——作为完整的历史。在这方面，他们符合最开始从奥卡姆处借用的要求。自从因果态是良好定义的，而且自从他们可以被系统性的逼近，我们已经展示了斑图强度（定义3和引理1，备注）的上界在实际上是可以达到的。直观地，因果态达到这个，是因为——不象一般的实际状态，他们没有丢弃任何关于未来的信息，可能包含在S<-中。用更通俗的话讲，为解释参考文献【70】中信息的定义，因果态记录制造不同（去到未来）的每个不同（关于过去）。我们实际上可以非常准确地制造这种直觉，使用定理的一个简单推论。

备注。这就是说，因果态在预测未来方面是一样优秀的——作为预测者——作为完整的历史。在这方面，他们符合最开始从奥卡姆处借用的要求。自从因果态是良好定义的，而且自从他们可以被系统性的逼近，我们已经展示了斑图强度（定义3和引理1，备注）的上界在实际上是可以达到的。直观地，因果态达到这个，是因为——不象一般的实际状态，他们没有丢弃任何关于未来的信息，可能包含在<math>\overset{\gets}{S}</math>中。用更通俗的话讲，为解释参考文献【70】中信息的定义，因果态记录制造不同（去到未来）的每个不同（关于过去）。我们实际上可以非常准确地制造这种直觉，使用定理的一个简单推论。

证明。它遵从于定义1和等式8，对于所有的L∈Z+，

证明。它遵从于定义1和等式8，对于所有的<math>L \in \mathbb{Z}^+</math>，

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其中I由等式8定义。结果，因果态是足够统计——参阅参考文献【62，p.37】和【71，2.7-2.5节】——为预测任意长度的将来。证毕。

其中I由等式8定义。结果，因果态是足够统计——参阅参考文献【62，p.37】和【71，2.7-2.5节】——为预测任意长度的将来。证毕。

所有随后的结果关注于同因果态一样预知的竞争态。我们称呼这些预知竞争者并用R^将他们归为一类。

所有随后的结果关注于同因果态一样预知的竞争态。我们称呼这些预知竞争者并用<math>\hat{\mathbfcal{R}}</math>将他们归为一类。

定义11（预知竞争者）预知竞争者R^是同因果态一样预知的状态；即，对于所有的L∈Z+，

定义11（预知竞争者）预知竞争者<math>\hat{\mathbfcal{R}}</math>是同因果态一样预知的状态；即，对于所有的<math>L \in \mathbb{Z}^+</math>，

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备注。预知竞争者也是足够统计的。

备注。预知竞争者也是足够统计的。

引理7（细化引理）对于所有的预知竞争者R^有对于每一个ρ∈R^，有一个σ∈S和测度为0的子集ρ0^⊂ρ^，可能是空集，可得ρ^\ρ0^⊆σ，其中\是集合相对差集。

引理7（细化引理）对于所有的预知竞争者<math>\hat{\mathbfcal{R}}</math>有对于每一个<math>\hat{\mathcal{R}} \hat{ρ} \in \hat{\mathbfcal{R}}</math>，有一个<math>σ \in \mathbfcal{S}</math>和测度为0的子集<math>\hat{ρ}_0 \subset \hat{ρ}</math>，可能是空集，可得<math>\hat{ρ} \backslash \hat{ρ}_0 \subseteq σ</math>，其中\是集合相对差集。

证明。我们调用参考文献【62】定理2.7.3的一个直接扩展：如果X1, X2, ...，Xn是同一集合A上的随机变量，每一个带有单独的概率分布，Θ是在正整数之上的随机变量，符合P(Θ = i) = λi，并且Z是A之上的随机变量，符合Z = XΘ，于是

证明。我们调用参考文献【62】定理2.7.3的一个直接扩展：如果<math>X_1,X_2,\dots,X_n</math>是同一集合<math>\mathcal{A}</math>上的随机变量，每一个带有单独的概率分布，Θ是在正整数之上的随机变量，符合<math>P(\Theta=i)=\lambda_i</math>，并且Z是<math>\mathcal{A}</math>之上的随机变量，符合<math>Z = X_\Theta</math>，于是

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对于每个竞争态ρ未来的条件分布可以写成一个或多个因果态变体的带权重混合。（Cf.图3）因此，由等式（46）得出，除非每一个ρ对于S->L(对每一个L)至少是强同质性，S->L在R上的条件熵将比最小值最高，在S上的条件熵。因此，在最大预测R^的情形下，每一个ρ^∈R^对于所有S->L必须至少是弱同质性的。但是因果态是最大的聚类，有着对于所有S->L的强同质性(引理3)。因此，每个ρ^∈R^的强同质性部分必须是子聚类，可能不适当的，是一些因果态σ∈S的。证毕。

对于每个竞争态ρ未来的条件分布可以写成一个或多个因果态变体的带权重混合。（Cf.图3）因此，由等式（46）得出，除非每一个ρ对于<math>\overset{\to L}{S}</math>(对每一个L)至少是强同质性，<math>\overset{\to L}{S}</math>在<math>\mathcal{R}</math>上的条件熵将比最小值最高，在<math>\mathcal{S}</math>上的条件熵。因此，在最大预测<math>\mathcal{R}</math>的情形下，每一个<math>\hat{ρ} \in \hat{\mathbfcal{R}}</math>对于所有<math>\overset{\to L}{S}</math>必须至少是弱同质性的。但是因果态是最大的聚类，有着对于所有<math>\overset{\to L}{S}</math>的强同质性(引理3)。因此，每个<math>\hat{ρ} \in \hat{\mathbfcal{R}}</math>的强同质性部分必须是子聚类，可能不适当的，是一些因果态<math>σ \in \mathbfcal{S}</math>的。证毕。

备注1。一个可替换的证明出现在附录E中。

备注1。一个可替换的证明出现在附录E中。

备注2。引理的内容可以很直观地生成，如果我们一时忽略历史中集合ρ0^测度为0的陈述。它也断言任何可替换划分R^是和因果态一样预知必须是因果态划分的细化。也就是，每个R^i必须是一个（可能不适当的）一些Sj的子集。否则，至少有一个Ri^应当必须至少包含两个因果态的部分。所以说，使用这个Ri^去预测未来的观测可能会导致关于S->比使用因果态更加的不确定。这点也在图4中做了说明，可以尝试和图3做对比。

备注2。引理的内容可以很直观地生成，如果我们一时忽略历史中集合<math>\hat{ρ}_0</math>测度为0的陈述。它也断言任何可替换划分<math>\hat{\mathbfcal{R}}</math>是和因果态一样预知必须是因果态划分的细化。也就是，每个<math>\hat{\mathcal{R}}_i</math>必须是一个（可能不适当的）一些<math>\mathcal{S}_j</math>的子集。否则，至少有一个<math>\hat{\mathcal{R}}_i</math>应当必须至少包含两个因果态的部分。所以说，使用这个<math>\hat{\mathcal{R}}_i</math>去预测未来的观测可能会导致关于<math>\overset{\to}{S}</math>比使用因果态更加的不确定。这点也在图4中做了说明，可以尝试和图3做对比。

将历史的测度0集合ρ0^添加到这个图示中并没有大幅改变启发式内容。准确地因为这些历史有0的概率，用“不恰当的”的方式来看待他们可以获得对预测、变体、凡此种种不可辨别的差异。这里有一个术语上的问题，尽管，自从他们看起来没有标准的名称来命名划分R^和S之间的关系。我们提议说前者是后者几乎无处不在的细化，或者，一个细化后处理（After Effect）。

将历史的测度0集合<math>\hat{ρ}_0</math>添加到这个图示中并没有大幅改变启发式内容。准确地因为这些历史有0的概率，用“不恰当的”的方式来看待他们可以获得对预测、变体、凡此种种不可辨别的差异。这里有一个术语上的问题，尽管，自从他们看起来没有标准的名称来命名划分<math>\hat{\mathbfcal{R}}</math>和<math>\mathbfcal{S}</math>之间的关系。我们提议说前者是后者几乎无处不在的细化，或者，一个细化后处理（After Effect）。

注备3。没有人能用其他方法证明来展示因果态必须是等价预知R^状态的细化。这已经排除了因为应用借用自参考文献【62】的等式【46】定理，兴起于能够由指定选择哪一种分布来减少不确定性。自从因果态构建于对应未来的强同质性，没有这种情况。引理3和定理1一样保护了我们。

注备3。没有人能用其他方法证明来展示因果态必须是等价预知<math>\hat{\mathcal{R}}</math>状态的细化。这已经排除了因为应用借用自参考文献【62】的等式【46】定理，兴起于能够由指定选择哪一种分布来减少不确定性。自从因果态构建于对应未来的强同质性，没有这种情况。引理3和定理1一样保护了我们。

备注4。因为几乎所有每一个预知竞争者状态是完全地包含在一个单独的因果态，我们可以构建一个函数g:R^->S，符合，如果η(s<-) = ρ^，那么ϵ(s<-)=g(ρ^)几乎都成立。我们甚至可以说S = g(R^)几乎总成立，理解了这一点，意味着，对每一个ρ^，P(S = σ | R^ = ρ^) ＞0当且仅当σ = g(ρ^)。

备注4。因为几乎所有每一个预知竞争者状态是完全地包含在一个单独的因果态，我们可以构建一个函数<math>g : \hat{\mathbfcal{R}} \mapsto \mathbfcal{S}</math>，符合，如果<math>\eta(\overset{\gets}{s})=\hat{ρ}</math>，那么<math>\epsilon(\overset{\gets}{s})=g(\hat{ρ})</math>几乎都成立。我们甚至可以说<math>\mathcal{S} = g(\hat{\mathcal{R}})</math>几乎总成立，理解了这一点，意味着，对每一个<math>\hat{ρ}, P(\mathcal{S} = σ \vert \hat{\mathcal{R}} = \hat{ρ}) > 0</math>当且仅当<math>σ = g(\hat{ρ})</math>。

图例4。一个预知竞争者划分R^必须是因果态划分的细化几乎到处如此。即，几乎所有每个R^i必须包含在一些Sj；例处就是，如果任何，一些历史集合测度为0。这里作为例子S2包含R^3，R^4和R^5的正测度部分。这里竞争态当中的一个，比如R^3，可以拥有在任意或所有其他因果态的历史成员，提供所有的这些异常历史的所有测度是0。Cf.图3。

图例4。一个预知竞争者划分<math>\hat{\mathbfcal{R}}</math>必须是因果态划分的细化几乎到处如此。即，几乎所有每个<math>\hat{\mathcal{R}}_i</math>必须包含在一些<math>\mathcal{S}_j</math>；例处就是，如果任何，一些历史集合测度为0。这里作为例子<math>\mathcal{S}_2</math>包含<math>\hat{\mathcal{R}}_3, \hat{\mathcal{R}}_4, 和 \hat{\mathcal{R}}_5</math>的正测度部分。这里竞争态当中的一个，比如<math>\hat{\mathcal{R}}_3</math>，可以拥有在任意或所有其他因果态的历史成员，提供所有的这些异常历史的所有测度是0。Cf.图3。

定理2（因果态是最简的）【15】对所有预知竞争态R^，

定理2（因果态是最简的）【15】对所有预知竞争态<math>\hat{\mathbfcal{R}}</math>，

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C_μ(\hat{\mathcal{R}}) \ge C_μ(\mathcal{S}) . \tag{47}

C_μ(\hat{\mathbfcal{R}}) \ge C_μ(\mathbfcal{S}) . \tag{47}

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证明。由引理7，备注4可得，有一个函数g符合S = g(R^)几乎总成立。但是H[f(X)]≤H(X)（等式（附录11））并且因此

证明。由引理7，备注4可得，有一个函数g符合<math>\mathcal{S} = g(\hat{\mathcal{R}})</math>几乎总成立。但是H[f(X)]≤H(X)（等式（附录11））并且因此

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