更改

\end{aligned}

\end{aligned}

</math>

</math>

|{{EquationRef|4}}}}这个公式表达的是，群组<math>A_i</math>到群组<math>A_j</math>的转移概率，其等价于群组<math>A_i</math>中任意状态<math>s_k</math>到群组<math>A_j</math>的转移概率和群组<math>i</math>中任意状态<math>s_k</math>到群组<math>A_j</math>中的状态的转移概率的和。

|{{EquationRef|4}}}}这个公式表达的是，群组<math>A_i</math>到群组<math>A_j</math>的转移概率，其等价于群组<math>A_i</math>中任意状态<math>s_k</math>到群组<math>A_j</math>的转移概率，也等价于群组<math>i</math>中任意状态<math>s_k</math>到群组<math>A_j</math>中的状态的转移概率的和。

可聚类性（Lumpability）是一种对分类的衡量，这个概念最早出现在Kemeny, Snell在1969年的有限马尔科夫链（Finite Markov Chains）<ref name=":33">Kemeny, John G., and J. Laurie Snell. ''Finite markov chains''. Vol. 26. Princeton, NJ: van Nostrand, 1969. https://www.math.pku.edu.cn/teachers/yaoy/Fall2011/Kemeny-Snell_Chapter6.3-4.pdf</ref>中。马尔科夫链的粗粒化不仅要对状态空间做，也要对转移矩阵和概率空间做。这三个部分可以同时做，也可以看作为：先对状态空间做，再对转移矩阵和概率空间做；即先对状态做分组，然后再获取对应的粗粒化后的转移矩阵。我们也提到过对状态空间做粗粒化有硬分块（Hard Partitioning）和软分块（Soft Partitioning）两种。软分块可以看作把微观状态打散重构成了一些宏观状态，而硬分块则是更严格的，把若干个微观状态分成一个组。而可聚类性（Lumpability）就是一个指标，用来评价‘对于某一种硬分块的微观状态分组分案，是否对微观状态转移矩阵可约简’。不管状态空间按照哪一个硬分块方案做分类，它都有对应后续的对转移矩阵和概率空间的粗粒化方案<ref>Buchholz, Peter. "Exact and ordinary lumpability in finite Markov chains." ''Journal of applied probability'' 31.1 (1994): 59-75.</ref>，并满足上面提到的粗粒化的两个规则。

可聚类性（Lumpability）是一种对分类的衡量，这个概念最早出现在Kemeny, Snell在1969年的有限马尔科夫链（Finite Markov Chains）<ref name=":33">Kemeny, John G., and J. Laurie Snell. ''Finite markov chains''. Vol. 26. Princeton, NJ: van Nostrand, 1969. https://www.math.pku.edu.cn/teachers/yaoy/Fall2011/Kemeny-Snell_Chapter6.3-4.pdf</ref>中。马尔科夫链的粗粒化不仅要对状态空间做，也要对转移矩阵和概率空间做。这三个部分可以同时做，也可以看作为：先对状态空间做，再对转移矩阵和概率空间做；即先对状态做分组，然后再获取对应的粗粒化后的转移矩阵。我们也提到过对状态空间做粗粒化有硬分块（Hard Partitioning）和软分块（Soft Partitioning）两种。软分块可以看作把微观状态打散重构成了一些宏观状态，而硬分块则是更严格的，把若干个微观状态分成一个组。而可聚类性（Lumpability）就是一个指标，用来评价‘对于某一种硬分块的微观状态分组分案，是否对微观状态转移矩阵可约简’。不管状态空间按照哪一个硬分块方案做分类，它都有对应后续的对转移矩阵和概率空间的粗粒化方案<ref>Buchholz, Peter. "Exact and ordinary lumpability in finite Markov chains." ''Journal of applied probability'' 31.1 (1994): 59-75.</ref>，并满足上面提到的粗粒化的两个规则。