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===希尔伯特空间上的有界算子===

===希尔伯特空间上的有界算子===

我们可以将分解 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{V}^*</math> 推广到可分希尔伯特空间 <math>H</math> 上的[[有界算子 bounded operator]] <math>\mathbf{M}</math>。具体来说，对任何有界算子 <math>\mathbf{M}</math>，都存在[[部分等距 partial isometry]]算子 <math>\mathbf{U}</math>，酉算子 <math>\mathbf{V}</math>，测度空间 <math>(X,\mu)</math>，以及非负可测函数 <math>f</math>，使得：

我们可以将分解 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{V}^*</math> 推广到可分希尔伯特空间 <math>H</math> 上的有界算子（bounded operator）<math>\mathbf{M}</math>。具体来说，对任何有界算子 <math>\mathbf{M}</math>，都存在部分等距（partial isometry）算子 <math>\mathbf{U}</math>，酉算子 <math>\mathbf{V}</math>，测度空间 <math>(X,\mu)</math>，以及非负可测函数 <math>f</math>，使得：

<math>\mathbf{M} = \mathbf{U}T_f\mathbf{V}^*</math>

<math>\mathbf{M} = \mathbf{U}T_f\mathbf{V}^*</math>

===奇异值和紧算子===

===奇异值和紧算子===

我们可以将奇异值和左/右奇异向量的概念推广到[[希尔伯特空间上的紧算子 compact operator on Hilbert space]]，因为它们具有离散谱。如果 <math>T</math> 是紧的，其谱中的每个非零 <math>\lambda</math> 都是特征值。此外，紧自伴算子可由其特征向量对角化。如果 <math>\mathbf{M}</math> 是紧的，那么 <math>\mathbf{M}^*\mathbf{M}</math> 也是紧的。应用对角化结果，其正平方根 <math>T_f</math> 的酉像有一组对应于严格正特征值 <math>\{\sigma_i\}</math> 的正交归一化特征向量 <math>\{e_i\}</math>。对 <math>H</math> 中的任意 <math>\psi</math>，有：

我们可以将奇异值和左/右奇异向量的概念推广到希尔伯特空间上的紧算子（compact operator on Hilbert space），因为它们具有离散谱。如果 <math>T</math> 是紧的，其谱中的每个非零 <math>\lambda</math> 都是特征值。此外，紧自伴算子可由其特征向量对角化。如果 <math>\mathbf{M}</math> 是紧的，那么 <math>\mathbf{M}^*\mathbf{M}</math> 也是紧的。应用对角化结果，其正平方根 <math>T_f</math> 的酉像有一组对应于严格正特征值 <math>\{\sigma_i\}</math> 的正交归一化特征向量 <math>\{e_i\}</math>。对 <math>H</math> 中的任意 <math>\psi</math>，有：

<math>\mathbf{M}\psi = \mathbf{U}T_f\mathbf{V}^*\psi = \sum_i \langle \mathbf{U}T_f\mathbf{V}^*\psi, \mathbf{U}e_i \rangle \mathbf{U}e_i = \sum_i \sigma_i \langle \psi, \mathbf{V}e_i \rangle \mathbf{U}e_i,</math>

<math>\mathbf{M}\psi = \mathbf{U}T_f\mathbf{V}^*\psi = \sum_i \langle \mathbf{U}T_f\mathbf{V}^*\psi, \mathbf{U}e_i \rangle \mathbf{U}e_i = \sum_i \sigma_i \langle \psi, \mathbf{V}e_i \rangle \mathbf{U}e_i,</math>