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奇异值分解(SVD)在线性[[反问题]]（inverse problems）研究中广泛应用，分析[[Tikhonov正则化]]等方法时颇有助益。统计学界普遍使用它，与[[主成分分析]]（principal component analysis）和[[对应分析]]（correspondence analysis）密切相关，信号处理和模式识别领域也常见其身影。此外，它还用于仅输出[[模态分析]]（modal analysis）,可从奇异向量确定非缩放[[模态形状]]（mode shapes）。自然语言文本处理中的[[潜在语义索引]]（latent semantic indexing）也离不开它。

奇异值分解(SVD)在线性[[反问题]]（inverse problems）研究中广泛应用，分析[[Tikhonov正则化]]等方法时颇有助益。统计学界普遍使用它，与[[主成分分析]]（principal component analysis）和[[对应分析]]（correspondence analysis）密切相关，信号处理和模式识别领域也常见其身影。此外，它还用于仅输出[[模态分析]]（modal analysis）,可从奇异向量确定非缩放[[模态形状]]（mode shapes）。自然语言文本处理中的[[潜在语义索引]]（latent semantic indexing）也离不开它。

在涉及线性或线性化系统的一般数值计算中，常用一个普遍常数来刻画问题的规律性或奇异性，即系统的"条件数" <math>\kappa := \sigma_{\text{max}} / \sigma_{\text{min}}</math>。这个数值通常决定了给定计算方案在这些系统上的误差率或收敛速度。<ref>{{}}</ref><ref>{{}}</ref>

在涉及线性或线性化系统的一般数值计算中，常用一个普遍常数来刻画问题的规律性或奇异性，即系统的"条件数" <math>\kappa := \sigma_{\text{max}} / \sigma_{\text{min}}</math>。这个数值通常决定了给定计算方案在这些系统上的误差率或收敛速度。<ref>{{citation | last1=Edelman | first1=Alan | date=1992 | title="On the distribution of a scaled condition number" | journal=Math. Comp. | volume=58 | issue=197 | pages=185–190 | doi=10.1090/S0025-5718-1992-1106966-2 | bibcode=1992MaCom..58..185E}}</ref><ref>{{citation | last1=Shen | first1=Jianhong (Jackie) | date=2001 | title="On the singular values of Gaussian random matrices" | journal=Linear Alg. Appl. | volume=326 | issue=1–3 | pages=1–14 | doi=10.1016/S0024-3795(00)00322-0}}</ref>

[[量子信息]]（quantum information）领域中，SVD以Schmidt分解的形式发挥着关键作用。通过它,我们可以自然地分解两个量子系统的状态，从而提供了它们纠缠的充要条件：只要 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 矩阵的秩大于1。

[[量子信息]]（quantum information）领域中，SVD以Schmidt分解的形式发挥着关键作用。通过它,我们可以自然地分解两个量子系统的状态，从而提供了它们纠缠的充要条件：只要 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 矩阵的秩大于1。

[[数值天气预报]]（numerical weather prediction）中，SVD对大型矩阵也有重要应用。利用Lanczos方法,可以估算在给定初始前向时间段内，对中心数值天气预报线性增长最快的几个扰动。这些扰动实际上是该时间间隔内全球天气线性化传播子对应最大奇异值的奇异向量。在这种情况下,输出奇异向量代表整个天气系统。随后，这些扰动通过完整的非线性模型运行，生成[[集合预报]]（ensemble forecast），为当前中心预测周围的不确定性提供了处理方法。

[[数值天气预报]]（numerical weather prediction）中，SVD对大型矩阵也有重要应用。利用Lanczos方法,可以估算在给定初始前向时间段内，对中心数值天气预报线性增长最快的几个扰动。这些扰动实际上是该时间间隔内全球天气线性化传播子对应最大奇异值的奇异向量。在这种情况下,输出奇异向量代表整个天气系统。随后，这些扰动通过完整的非线性模型运行，生成[[集合预报]]（ensemble forecast），为当前中心预测周围的不确定性提供了处理方法。

[[降阶建模]]（reduced-order modeling）中也少不了SVD的身影。降阶建模旨在减少复杂系统中的自由度数量。研究人员将SVD与径向基函数（radial basis functions）结合，用于插值三维非稳态流问题的解。<ref>{{}}</ref>

[[降阶建模]]（reduced-order modeling）中也少不了SVD的身影。降阶建模旨在减少复杂系统中的自由度数量。研究人员将SVD与径向基函数（radial basis functions）结合，用于插值三维非稳态流问题的解。<ref>{{citation | last1=Walton | first1=S. | last2=Hassan | first2=O. | last3=Morgan | first3=K. | date=2013 | title="Reduced order modelling for unsteady fluid flow using proper orthogonal decomposition and radial basis functions" | journal=Applied Mathematical Modelling | volume=37 | issue=20–21 | pages=8930–8945 | doi=10.1016/j.apm.2013.04.025}}</ref>

值得一提的是，科学家们已经利用SVD改进了地面引力波干涉仪aLIGO的[[引力波形建模]]（gravitational wave modeling）。<ref>{{}}</ref>SVD有助于提高波形生成的准确性和速度，支持引力波搜索和更新两种不同的波形模型。

值得一提的是，科学家们已经利用SVD改进了地面引力波干涉仪aLIGO的[[引力波形建模]]（gravitational wave modeling）。<ref>{{citation | last1=Setyawati | first1=Y. | last2=Ohme | first2=F. | last3=Khan | first3=S. | date=2019 | title="Enhancing gravitational waveform model through dynamic calibration" | journal=Physical Review D | volume=99 | issue=2 | pages=024010 | doi=10.1103/PhysRevD.99.024010 | arxiv=1810.07060 | bibcode=2019PhRvD..99b4010S}}</ref>SVD有助于提高波形生成的准确性和速度，支持引力波搜索和更新两种不同的波形模型。

[[推荐系统]]（Recommender systems）中，SVD用于预测用户对项目的评分。<ref>{{}}</ref>为了在商品机器集群上高效计算SVD，研究人员开发了分布式算法。<ref>{{}}</ref>

[[推荐系统]]（Recommender systems）中，SVD用于预测用户对项目的评分。<ref>{{citation | last1=Sarwar | first1=Badrul | last2=Karypis | first2=George | last3=Konstan | first3=Joseph A. | last4=Riedl | first4=John T. | date=2000 | title="Application of Dimensionality Reduction in Recommender System – A Case Study" | publisher=University of Minnesota}}</ref>为了在商品机器集群上高效计算SVD，研究人员开发了分布式算法。<ref>{{citation | last1=Bosagh Zadeh | first1=Reza | last2=Carlsson | first2=Gunnar | date=2013 | title="Dimension Independent Matrix Square Using MapReduce" | arxiv=1304.1467 | bibcode=2013arXiv1304.1467B}}</ref>

低秩SVD在从时空数据中检测热点方面表现出色，已应用于疾病爆发检测。<ref>{{}}</ref>研究人员还将SVD和高阶SVD结合起来，用于疾病监测中从复杂数据流(具有空间和时间维度的多变量数据)进行实时事件检测。<ref>{{}}</ref>

低秩SVD在从时空数据中检测热点方面表现出色，已应用于疾病爆发检测。<ref>{{citation | last1=Fanaee Tork | first1=Hadi | last2=Gama | first2=João | date=September 2014 | title="Eigenspace method for spatiotemporal hotspot detection" | journal=Expert Systems | volume=32 | issue=3 | pages=454–464 | doi=10.1111/exsy.12088 | arxiv=1406.3506 | bibcode=2014arXiv1406.3506F}}</ref>研究人员还将SVD和高阶SVD结合起来，用于疾病监测中从复杂数据流(具有空间和时间维度的多变量数据)进行实时事件检测。<ref>{{citation | last1=Fanaee Tork | first1=Hadi | last2=Gama | first2=João | date=May 2015 | title="EigenEvent: An Algorithm for Event Detection from Complex Data Streams in Syndromic Surveillance" | journal=Intelligent Data Analysis | volume=19 | issue=3 | pages=597–616 | doi=10.3233/IDA-150734 | arxiv=1406.3496}}</ref>

在[[天体动力学]]（astrodynamics）领域，科学家们运用SVD及其变体来确定转移轨道设计<ref>{{}}</ref>和轨道站保持的合适机动方向。<ref>{{}}</ref>

在[[天体动力学]]（astrodynamics）领域，科学家们运用SVD及其变体来确定转移轨道设计<ref>{{citation | last1=Muralidharan | first1=Vivek | last2=Howell | first2=Kathleen | date=2023 | title="Stretching directions in cislunar space: Applications for departures and transfer design" | journal=Astrodynamics | volume=7 | issue=2 | pages=153–178 | doi=10.1007/s42064-022-0147-z | bibcode=2023AsDyn...7..153M}}</ref>和轨道站保持的合适机动方向。<ref>{{citation | last1=Muralidharan | first1=Vivek | last2=Howell | first2=Kathleen | date=2022 | title="Leveraging stretching directions for stationkeeping in Earth-Moon halo orbits" | journal=Advances in Space Research | volume=69 | issue=1 | pages=620–646 | doi=10.1016/j.asr.2021.10.028 | bibcode=2022AdSpR..69..620M}}</ref>

==存在性证明==

==存在性证明==