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在线性代数中，奇异值分解（Singular value decomposition）是一种通过旋转、缩放和再次旋转来因式分解[[实矩阵]]（real matrix 元素都是实数的矩阵）或[[复矩阵]]（complex matrix）的方法，如下图。它把具有[[正交特征基]]（orthonormal eigenbasis）的方阵[[特征分解]]（eigen decomposition）推广到了任意 <math>m \times n</math> 矩阵，并与[[极分解]]（polar decomposition）密切相关。
在线性代数中，奇异值分解（Singular value decomposition）是一种通过旋转、缩放和再次旋转来因式分解[[实矩阵]]（real matrix 元素都是实数的矩阵）或[[复矩阵]]（complex matrix 元素有复数的矩阵）的方法，如下图。它把具有[[正交特征基]]（orthonormal eigenbasis）的方阵[[特征分解]]（eigen decomposition）推广到了任意 <math>m \times n</math> 矩阵，并与[[极分解]]（polar decomposition）密切相关。
[[文件:Singular-Value-Decomposition.svg.png|无框|居左|奇异值分解]]
[[文件:Singular-Value-Decomposition.svg.png|无框|居左|奇异值分解]]
有时，我们也把SVD称为紧凑SVD（compact SVD）。紧凑型SVD是一种类似的分解： <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^*</math>，其中 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>r \times r</math> 的方形对角矩阵，<math>r \leq \min\left \{ m,n \right \}</math>是 <math>\mathbf{M}</math> 的秩，只包含非零奇异值。在这种变体中，<math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times r</math> 半酉矩阵（semi-unitary matrix），<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times r</math> 半酉矩阵，满足 <math>\mathbf{U}^* \mathbf{U} = \mathbf{V}^* \mathbf{V} = \mathbf{I}_r</math>（单位矩阵）。
有时，我们也把SVD称为紧凑SVD（compact SVD）。紧凑型SVD是一种类似的分解： <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^*</math>，其中 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>r \times r</math> 的方形对角矩阵，<math>r \leq \min\left \{ m,n \right \}</math>是 <math>\mathbf{M}</math> 的秩，只包含非零奇异值。在这种变体中，<math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times r</math> 半酉矩阵（semi-unitary matrix），<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times r</math> 半酉矩阵，满足 <math>\mathbf{U}^* \mathbf{U} = \mathbf{V}^* \mathbf{V} = \mathbf{I}_r</math>（单位矩阵）。
SVD在数学上有多种应用，包括计算[[伪逆]]（pseudoinverse）、[[矩阵近似]]（matrix approximation）以及确定矩阵的[[秩]]（rank）、[[值域]]（range）和[[零空间]]（null space）。此外，SVD在科学、工程和统计学的各个领域都很有用，比如[[信号处理]]（signal processing）、[[数据最小二乘拟合]]（least squares fitting of data）和过程控制等。
SVD在数学上有多种应用，包括计算[[伪逆]]（pseudoinverse）、[[矩阵近似]]（matrix approximation）以及确定矩阵的[[秩]]（rank 线性无关向量的最大个数）、[[值域]]（range）和[[零空间]]（null space）。此外，SVD在科学、工程和统计学的各个领域都很有用，比如[[信号处理]]（signal processing）、[[数据最小二乘拟合]]（least squares fitting of data）和过程控制等。