“SVD定理”的版本间的差异

2024年12月14日 (六) 16:32的版本

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-奇异值分解定理（Singular Value Decomposition Theorem，简称SVD定理）是线性代数中的一个基本定理，它揭示了任意矩阵的几何本质。
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-几何解释
-从几何角度来看，对于任意线性映射 <math>T: K^n \to K^m</math>，我们总能找到 <math>K^n</math> 和 <math>K^m</math> 的规范正交基，使得：
-<math>T</math> 将 <math>K^n</math> 中的第 <math>i</math> 个基向量映射到 <math>K^m</math> 中第 <math>i</math> 个基向量的非负实数倍
-剩余的基向量被映射到零向量
-形式表述
-任意矩阵 <math>A \in \mathbb{R}^{m \times n}</math> 可以分解为：
-<math>A = U\Sigma V^T</math>
-其中：
-<math>U \in \mathbb{R}^{m \times m}</math> 是正交矩阵
-<math>V \in \mathbb{R}^{n \times n}</math> 是正交矩阵
-<math>\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times n}</math> 是对角矩阵，对角线上的元素 <math>\sigma_i</math> 称为奇异值，且满足 <math>\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \cdots \geq \sigma_r \geq 0</math>
-重要性质
-奇异值 <math>\sigma_i</math> 是唯一的
-矩阵 <math>A</math> 的秩等于非零奇异值的个数
-<math>U</math> 的列向量称为左奇异向量
-<math>V</math> 的列向量称为右奇异向量