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第1行： − 奇异值分解定理（Singular Value Decomposition Theorem，简称SVD定理）是线性代数中的一个基本定理，它揭示了任意矩阵的几何本质。+ − − 几何解释 − 从几何角度来看，对于任意线性映射 <math>T: K^n \to K^m</math>，我们总能找到 <math>K^n</math> 和 <math>K^m</math> 的规范正交基，使得： − − <math>T</math> 将 <math>K^n</math> 中的第 <math>i</math> 个基向量映射到 <math>K^m</math> 中第 <math>i</math> 个基向量的非负实数倍 − 剩余的基向量被映射到零向量 − 形式表述 − 任意矩阵 <math>A \in \mathbb{R}^{m \times n}</math> 可以分解为： − − <math>A = U\Sigma V^T</math> − − 其中： − − <math>U \in \mathbb{R}^{m \times m}</math> 是正交矩阵 − <math>V \in \mathbb{R}^{n \times n}</math> 是正交矩阵 − <math>\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times n}</math> 是对角矩阵，对角线上的元素 <math>\sigma_i</math> 称为奇异值，且满足 <math>\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \cdots \geq \sigma_r \geq 0</math> − 重要性质 − − 奇异值 <math>\sigma_i</math> 是唯一的 − 矩阵 <math>A</math> 的秩等于非零奇异值的个数 − <math>U</math> 的列向量称为左奇异向量 − <math>V</math> 的列向量称为右奇异向量
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