“秩-零化度定理”的版本间的差异
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* 对于线性变换<math>f: V \to W</math>，其定义域的维数等于秩与零度之和：<math>\text{dim}(V) = \text{rank}(f) + \text{nullity}(f)</math> | * 对于线性变换<math>f: V \to W</math>，其定义域的维数等于秩与零度之和：<math>\text{dim}(V) = \text{rank}(f) + \text{nullity}(f)</math> | ||
| − | 这里<math>\text{rank}(f)</math> | + | 这里<math>\text{rank}(f)</math>是<math>f</math>的像的维数，而<math>\text{nullity}(f)</math>是f的核的维数。 |
由此可以推出，对于维数相等的有限维向量空间之间的线性变换（即<math>\text{dim}(V) = \text{dim}(W)</math>），只要该变换是单射或满射，它就一定是双射。 | 由此可以推出，对于维数相等的有限维向量空间之间的线性变换（即<math>\text{dim}(V) = \text{dim}(W)</math>），只要该变换是单射或满射，它就一定是双射。 | ||
2024年12月22日 (日) 13:43的版本
秩-零度定理是线性代数中的一个重要定理，它断言：
- 对于一个矩阵[math]\displaystyle{ M }[/math]，其列数等于秩与零度之和：[math]\displaystyle{ \text{dim}(\text{col }M) = \text{rank}(M) + \text{nullity}(M) }[/math]
- 对于线性变换[math]\displaystyle{ f: V \to W }[/math]，其定义域的维数等于秩与零度之和：[math]\displaystyle{ \text{dim}(V) = \text{rank}(f) + \text{nullity}(f) }[/math]
这里[math]\displaystyle{ \text{rank}(f) }[/math]是[math]\displaystyle{ f }[/math]的像的维数，而[math]\displaystyle{ \text{nullity}(f) }[/math]是f的核的维数。
由此可以推出，对于维数相等的有限维向量空间之间的线性变换（即[math]\displaystyle{ \text{dim}(V) = \text{dim}(W) }[/math]），只要该变换是单射或满射，它就一定是双射。