更改

对于例子中的不成块的矩阵，我们或许可以给它强制定义一个简化过程的TPM，比如<math> P_1' = \left ( \begin{array}{cc} 0.6 & 0.4 \\ 0.2 & 0.8 \\ \end{array} \right )</math>，但这个简化过程并不能对任何微观初始状态保持一致，只能对<math>s^{(t)} = \pi = \left [ \begin{array}{cc}1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]</math>适用。而<math>s^{(t)} = \pi = \left [ \begin{array}{cc}0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right ]</math>不适用这个简化过程。它适用的是<math> P_2' = \left ( \begin{array}{cc} 0.5 & 0.5 \\ 0.2 & 0.8 \\ \end{array} \right )</math>。这里的不适用是指，这个简化过程不能描述这个<math>\pi</math>为初始状态出发的微观状态序列投影的宏观状态序列。我们看到，对于这个分组矩阵<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，马尔科夫矩阵有两个简化过程 <math> P_1'</math>和<math> P_2'</math>，而它们各自只适用于一些微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math>，并不满足定义2中的条件，所以<math>A</math>对于这个TPM来说不是一个成块的划分。事实上，这个TPM只存在一个成块的划分，就是不做任何的分组，所以它无法按照成块性的定义进行粗粒化。在后面“成块性概念的变种”的部分，我们会提到，虽然对这个TPM做的划分不符合（强）成块性的要求，但是它实际上满足弱成块性 Weak Lumpability，即简化过程对部分微观初始状态使用。

对于例子中的不成块的矩阵，我们或许可以给它强制定义一个简化过程的TPM，比如<math> P_1' = \left ( \begin{array}{cc} 0.6 & 0.4 \\ 0.2 & 0.8 \\ \end{array} \right )</math>，但这个简化过程并不能对任何微观初始状态保持一致，只能对<math>s^{(t)} = \pi = \left [ \begin{array}{cc}1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]</math>适用。而<math>s^{(t)} = \pi = \left [ \begin{array}{cc}0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right ]</math>不适用这个简化过程。它适用的是<math> P_2' = \left ( \begin{array}{cc} 0.5 & 0.5 \\ 0.2 & 0.8 \\ \end{array} \right )</math>。这里的不适用是指，这个简化过程不能描述这个<math>\pi</math>为初始状态出发的微观状态序列投影的宏观状态序列。我们看到，对于这个分组矩阵<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，马尔科夫矩阵有两个简化过程 <math> P_1'</math>和<math> P_2'</math>，而它们各自只适用于一些微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math>，并不满足定义2中的条件，所以<math>A</math>对于这个TPM来说不是一个成块的划分。事实上，这个TPM只存在一个成块的划分，就是不做任何的分组，所以它无法按照成块性的定义进行粗粒化。在后面“成块性概念的变种”的部分，我们会提到，虽然对这个TPM做的划分不符合（强）成块性的要求，但是它实际上满足弱成块性 Weak Lumpability，即简化过程对部分微观初始状态使用。

==成块性的充分必要条件==

==成块性的充分必要条件==

所以，成块性并不是一个马尔科夫链的特质，而是对马尔科夫链的某个状态划分的特质。直接说某个马尔科夫链是成块的或是不成块的是不严谨的，但是我们可以说，对于某个马尔科夫链的某个状态划分是成块或不成块的。但是，通常为了简略表达，当我们说某个马尔科夫链成块时，我们表达的是它存在某种成块的状态划分。

所以，成块性并不是一个马尔科夫链的特质，而是对马尔科夫链的某个状态划分的特质。直接说某个马尔科夫链是成块的或是不成块的是不严谨的，但是我们可以说，对于某个马尔科夫链的某个状态划分是成块或不成块的。但是，通常为了简略表达，当我们说某个马尔科夫链成块时，我们表达的是它存在某种成块的状态划分。

==成块性的正例和反例==

==成块性的正例和反例==

\end{aligned}

\end{aligned}

</math>

</math>

==成块性满足的性质==

==成块性满足的性质==

虽然成块性划分能够准确预测宏观动力学，但它无法确保像[[计算力学]]中因果态那样的微观最大预测性，因为它在聚类过程中会损失微观状态的信息，使得我们无法辨别某个<math>A^{(t)}</math>具体是哪个微观态<math>s^{(t)}</math>。而且，这个信息的损失是不可逆的，所以从微观粗粒化到宏观之后，就无法再还原到微观了。

虽然成块性划分能够准确预测宏观动力学，但它无法确保像[[计算力学]]中因果态那样的微观最大预测性，因为它在聚类过程中会损失微观状态的信息，使得我们无法辨别某个<math>A^{(t)}</math>具体是哪个微观态<math>s^{(t)}</math>。而且，这个信息的损失是不可逆的，所以从微观粗粒化到宏观之后，就无法再还原到微观了。

===成块划分和粗粒化的可交换性===

===成块划分和粗粒化的可交换性===

而<math>\Phi P'</math>的意思是把<math>P'</math>的每一行按照<math>\Phi</math>抄写到对应的微观状态的行中，所以，我们会发现<math>\Phi P'</math>和<math>P \Phi</math>的结果是一样的。

而<math>\Phi P'</math>的意思是把<math>P'</math>的每一行按照<math>\Phi</math>抄写到对应的微观状态的行中，所以，我们会发现<math>\Phi P'</math>和<math>P \Phi</math>的结果是一样的。

===一致性Consistency===

===一致性Consistency===

回到上面基于成块划分做的粗粒化过程与HOM等价的推断，我们就能得出，'''根据成块性而做的粗粒化，构建的宏观网络和微观网络也是保持一致的。'''

回到上面基于成块划分做的粗粒化过程与HOM等价的推断，我们就能得出，'''根据成块性而做的粗粒化，构建的宏观网络和微观网络也是保持一致的。'''

==成块性概念的变种==

==成块性概念的变种==

比例成块 Proportional < 准成块 Quasi < 弱成块 Weak < 精准成块 Exact < 强成块 Strong/Ordinary < 严格成块 Strict

比例成块 Proportional < 准成块 Quasi < 弱成块 Weak < 精准成块 Exact < 强成块 Strong/Ordinary < 严格成块 Strict

==成块性和粗粒化==

==成块性和粗粒化==