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'''渗流阈值（Percolation Threshold, pc​）''' 是指在给定网络或材料结构中，某一关键占据概率下首次出现“无限连通集群”的临界点。也就是说，当连接概率[math]\displaystyle{ \ p < p_c }[/math]时，系统中的集群都是有限的；当[math]\displaystyle{ \ p >p_c }[/math]​ 时，有正概率形成覆盖系统的大规模连通路径。这个“突然出现”的无限集群是渗流理论中的核心相变现象，其对应于系统宏观性质（如电导、流体通量、力学性能）的突变。

'''渗流阈值（Percolation Threshold, pc​）''' 是指在给定网络或材料结构中，某一关键占据概率下首次出现“无限连通集群”的临界点。也就是说，当连接概率[math]\displaystyle{ \ p < p_c }[/math]时，系统中的集群都是有限的；当[math]\displaystyle{ \ p >p_c }[/math]​ 时，有正概率形成覆盖系统的大规模连通路径。这个“突然出现”的无限集群是渗流理论中的核心相变现象，其对应于系统宏观性质（如电导、流体通量、力学性能）的突变。

在渗流理论中，'''渗流阈值'''（常用符号表示{{Math|''p''_''c''}}指的是使无限系统出现从局部连接跃迁至全局连通的最小概率。当填充概率[math]\displaystyle{ \ p < p_c }[/math]时，系统中不会出现贯通路径，而当[math]\displaystyle{ \ p >p_c }[/math]时，出现无限集群的概率从0跃升为1，这种突变是典型的相变现象，符合所谓的'''零一律'''（0–1law）。

在渗流理论中，'''渗流阈值'''（常用符号表示{{Math|''p''_''c''}}指的是使无限系统出现从局部连接跃迁至全局连通的最小概率<ref name=":0">Stauffer D, Aharony A. Introduction to Percolation Theory. CRC Press, 2014.</ref>。当填充概率[math]\displaystyle{ \ p < p_c }[/math]时，系统中不会出现贯通路径，而当[math]\displaystyle{ \ p >p_c }[/math]时，出现无限集群的概率从0跃升为1，这种突变是典型的相变现象<ref name=":0" />，符合所谓的'''零一律'''（0–1law）。

数学上，如果将系统建模为图[math]\displaystyle{ G = (V,E) }[/math]，渗流模型会随机选择子集[math]\displaystyle{ E' \subset E }[/math]或[math]\displaystyle{ V' \subset V }[/math]，使得每条边或每个顶点以概率[math]\displaystyle{ p }[/math]被"激活"。当[math]\displaystyle{ p > p_c }[/math]时，图中几乎总是存在一条连接任意两个远点的大路径。

数学上，如果将系统建模为图[math]\displaystyle{ G = (V,E) }[/math]，渗流模型会随机选择子集[math]\displaystyle{ E' \subset E }[/math]或[math]\displaystyle{ V' \subset V }[/math]，使得每条边或每个顶点以概率[math]\displaystyle{ p }[/math]被"激活"。当[math]\displaystyle{ p > p_c }[/math]时，图中几乎总是存在一条连接任意两个远点的大路径。

=== '''参考资料''' ===

=== '''参考资料''' ===

 

# Broadbent S R, Hammersley J M. Percolation processes. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1957.

[1]Broadbent, S. R.; Hammersley, J. M. Percolation processes. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1953, 53(03):629.Bibcode:1957PCPS...53..629B.ISSN0305-0041.doi:10.1017/S0305004100032680.

# Stauffer D, Aharony A. Introduction to Percolation Theory. CRC Press, 2014.

 

# Grimmett G. Percolation (2nd ed.). Springer, 1999.

[2]Dietrich Stauffer; Ammon Aharony. Introduction to percolation theory revised second edition. CRC press. 2014. <nowiki>ISBN 0748400273</nowiki>.

# Kesten H. Percolation Theory for Mathematicians. Birkhäuser, 1982.

 

# Saberi A A. Recent advances in percolation theory. Physics Reports, 2015.

[3]Bollobás, Béla; Riordan, Oliver. Sharp thresholds and percolation in the plane. Random Structures and Algorithms. 2006, 29 (4): 524–548. ISSN 1042-9832.  doi:10.1002/rsa.20134

# Albert R, Jeong H, Barabási A L. Error and attack tolerance of complex networks. Nature, 2000.

 

# Balberg I. Electrical phenomena in carbon black-polymer composites. Carbon, 2002.

[4]Jacobsen, J. L. High-precision percolation thresholds and Potts-model critical manifolds from graph polynomials. J. Phys. A: Math. Theor. 2014, 47(13):135001.Bibcode:2014JPhA...47m5001G.doi:10.1088/1751-8113/47/13/135001

# Zhang R et al. Optical percolation in nanoparticle arrays. ACS Nano, 2016.

 

# Montroll E W, Weiss G H. Random walks on lattices. Journal of Mathematical Physics, 1965.

[5]Deng, Youjin; H. W. J. Blöte. Monte Carlo study of the site-percolation model in two and three dimensions. Physical Review E. 2005, 72 (1): 016126. Bibcode:2005PhRvE..72a6126D. doi:10.1103/PhysRevE.72.016126

# Smirnov S. Critical percolation in the plane. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 2001.

 

# Wu Z et al. Machine learning prediction of percolation thresholds. Nature Materials, 2023.

[6]Lorenz, C. D.; R. M. Ziff. Precise determination of the bond percolation thresholds and finite-size scaling corrections for the sc, fcc, and bcc lattices. Physical Review E. 1998, 57: 230–236. Bibcode:1998PhRvE..57..230L. arXiv:cond-mat/9710044 

# Frankle J, Carbin M. The lottery ticket hypothesis. ICLR, 2019.

# Eisenman I, Wettlaufer J S. Nonlinear threshold behavior during Arctic sea ice loss. PNAS, 2009.

# Deng Y, Blöte H W J. Monte Carlo study of site-percolation. Physical Review E, 2005.

# Lorenz C D, Ziff R M. Precise bond percolation thresholds. Physical Review E, 1998.

# Jacobsen J L. High-precision percolation thresholds. J. Phys. A: Math. Theor, 2014.

# Duminil-Copin H. Sharp threshold phenomena. Proc. ICM, 2021.

# Buldyrev S V et al. Catastrophic cascade of failures. Nature, 2010.

# Sahimi M. Applications of percolation theory. Taylor & Francis, 2020.