更改

其中，约定 <math>i_\ell \in i_{\ell+1}</math> 表示属于超节点 <math>i_{\ell+1}</math> 的节点。上述变换重整化了耦合系数和参数值。

其中，约定 <math>i_\ell \in i_{\ell+1}</math> 表示属于超节点 <math>i_{\ell+1}</math> 的节点。上述变换重整化了耦合系数和参数值。

全局参数的演化如下：<math>R_{\ell+1} = R_\ell / r_\ell</math>， <math>\mu_{\ell+1} = \mu_\ell / r^{\min(1, \beta)}</math>，其中 <math>r</math> 是等大小超节点中的节点数， <math>\beta</math> 是尺度不变的。这些变换满足半群性质：用 <math>r</math> 个节点的组重整化两次等同于用 <math>r^2</math> 个节点的组重整化一次。概率 <math>p_{i_{\ell+1} j_{\ell+1}}</math> 保持 <math>p_{i_\ell j_\ell}</math> 的原始形式，当 <math>\beta > 1</math> 时（参考文献 <ref name="García-Pérez_Multiscale_unfolding">{{cite journal|author1=García-Pérez G|author2=Boguñá M|author3=Serrano M. Á.|title=Multiscale unfolding of real networks by geometric renormalization|journal=Nat. Phys.|year=2018|volume=14|url=}}</ref>），平均度 <math>\langle k \rangle</math> 是具有流 <math>\langle k \rangle_{\ell+1} = r^\nu \langle k \rangle_\ell</math>的观测量。只要具备良好的嵌入，上述行为性质也适用于真实网络。真实网络通畅具备典型特征 <math>\nu > 0</math>， 表明流会趋向于高连接度的图；而如果 <math>\nu < 0</math>，网络的流会趋向于一维环；在小世界和非小世界阶段之间的转变处， <math>\nu = 0</math>，平均度保持不变（更多细节见原文附录）。最后，对于 <math>\beta \leq 1</math>，链接数在重整化下保持不变<ref name="Kolk_Weak_geometric_coupling">{{cite journal|author1=Kolk J|author2=Serrano M|author3=Boguñá M.|title=Renormalization of networks with weak geometric coupling|journal=Phys. Rev. E|year=2024|volume=110|url=}}</ref>。

全局参数的演化如下：

 

<math>R_{\ell+1} = R_\ell / r_\ell</math>， <math>\mu_{\ell+1} = \mu_\ell / r^{\min(1, \beta)}</math>，其中 <math>r</math> 是等大小超节点中的节点数， <math>\beta</math> 是尺度不变的。这些变换满足半群性质：用 <math>r</math> 个节点的组重整化两次等同于用 <math>r^2</math> 个节点的组重整化一次。概率 <math>p_{i_{\ell+1} j_{\ell+1}}</math> 保持 <math>p_{i_\ell j_\ell}</math> 的原始形式，当 <math>\beta > 1</math> 时（参考文献 <ref name="García-Pérez_Multiscale_unfolding">{{cite journal|author1=García-Pérez G|author2=Boguñá M|author3=Serrano M. Á.|title=Multiscale unfolding of real networks by geometric renormalization|journal=Nat. Phys.|year=2018|volume=14|url=}}</ref>），平均度 <math>\langle k \rangle</math> 是具有流 <math>\langle k \rangle_{\ell+1} = r^\nu \langle k \rangle_\ell</math>的观测量。只要具备良好的嵌入，上述行为性质也适用于真实网络。真实网络通畅具备典型特征 <math>\nu > 0</math>， 表明流会趋向于高连接度的图；而如果 <math>\nu < 0</math>，网络的流会趋向于一维环；在小世界和非小世界阶段之间的转变处， <math>\nu = 0</math>，平均度保持不变（更多细节见原文附录）。最后，对于 <math>\beta \leq 1</math>，链接数在重整化下保持不变<ref name="Kolk_Weak_geometric_coupling">{{cite journal|author1=Kolk J|author2=Serrano M|author3=Boguñá M.|title=Renormalization of networks with weak geometric coupling|journal=Phys. Rev. E|year=2024|volume=110|url=}}</ref>。

=== 推广到带权网络 ===

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