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→在“混沌”被命名前
历史上，对{{EquationNote|(1)}}式的研究展开深入研究的科学家是[[Robert May]]，并且该迭代方程以其极其简单的形式，同时能够展现出丰富复杂的非线性行为而成为示例[[混沌]]现象的代表模型。然而，事实上，早在[[混沌]]（Chaos）一词被提出之前，包括[[乌拉姆]]（Stain Ulam）和[[冯诺伊曼]]（John von Neumann）在内的多位科学家就已经展开了对{{EquationNote|(1)}}式的研究。
历史上，对{{EquationNote|(1)}}式的研究展开深入研究的科学家是[[Robert May]]，并且该迭代方程以其极其简单的形式，同时能够展现出丰富复杂的非线性行为而成为示例[[混沌]]现象的代表模型。然而，事实上，早在[[混沌]]（Chaos）一词被提出之前，包括[[乌拉姆]]（Stain Ulam）和[[冯诺伊曼]]（John von Neumann）在内的多位科学家就已经展开了对{{EquationNote|(1)}}式的研究。
==Logistic生长方程==
事实上，{{EquationNote|(1)}}式是更早由比利时数学家[[Pierre François Verhulst]]提出的[[logistic生长方程]]的离散版本。
==在“混沌”被命名前==
==在“混沌”被命名前==
在映射迭代成为动力系统研究的核心之前，数学家加斯东·朱利亚（Gaston Julia）和皮埃尔·法图（Pierre Fatou）就研究了多种[[复函数]]的迭代。特别地，他们在1920年代研究了下述复二次函数的行为，即下列[[复数迭代方程]]：
在映射迭代成为动力系统研究的核心之前，数学家加斯东·朱利亚（Gaston Julia）和皮埃尔·法图（Pierre Fatou）就研究了多种[[复函数]]的迭代。特别地，他们在1920年代研究了下述复二次函数的行为，即下列[[复数迭代方程]]：
:[math]
:<math>
z_{t+1}=z_t^2+c
z_{t+1}=z_t^2+c
</math>
该方程中，[math]z[/math]为一个复数，[math]t[/math]代表迭代时间步，[math]c[/math]也是一个复数，它是一个不随迭代时间步而变的常数。对该方程的极限行为进行分类，即构成了[[朱利亚集合]]（Julia set）。朱利亚和法图也在朱利亚集中识别到了混沌行为，但由于当时没有计算机图形学，无人跟进，他们的研究因此停滞。关于复平面上映射所呈现的丰富动力学行为的研究随之衰落，直到 1970 年代末，[[伯努瓦·曼德博罗特（Benoit Mandelbrot）|曼德布罗特]](因其发现的[[曼德布罗特集]]及其他发明的[[分形]]一词而得名，这也是根据该复数迭代生成的一种集合）及其他人的出现，人们才注意到复平面上映射所展现的丰富动力学行为。
该方程中，[math]z[/math]为一个复数，[math]t[/math]代表迭代时间步，[math]c[/math]也是一个复数，它是一个不随迭代时间步而变的常数。对该方程的极限行为进行分类，即构成了[[朱利亚集合]]（Julia set）。朱利亚和法图也在朱利亚集中识别到了混沌行为，但由于当时没有计算机图形学，无人跟进，他们的研究因此停滞。关于复平面上映射所呈现的丰富动力学行为的研究随之衰落，直到 1970 年代末，[[伯努瓦·曼德博罗特（Benoit Mandelbrot）|曼德布罗特]](因其发现的[[曼德布罗特集]]及其他发明的[[分形]]一词而得名，这也是根据该复数迭代生成的一种集合）及其他人的出现，人们才注意到复平面上映射所展现的丰富动力学行为。
1947 年，数学家斯坦尼斯拉夫·乌拉姆（Stanislaw Ulam）和约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）写了一篇题为《随机过程和确定性过程的结合》（On combination of stochastic and deterministic processes）的短文，其中他们指出可以通过如下方程给出：
1947 年，数学家斯坦尼斯拉夫·乌拉姆（Stanislaw Ulam）和约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）写了一篇题为《随机过程和确定性过程的结合》（On combination of stochastic and deterministic processes）的短文，其中他们指出可以通过如下方程给出：
:[math]
:<math>
f(x)=4x(1−x)
f(x)=4x(1−x)
</math>
他们指出，伪随机数可以通过对类似[math]f(x)[/math]的二次函数进行反复复合来生成。事实上，这个方程正是{{EquationNote|(1)}}式对应于参数[math]\mu=4[/math]时候的情形。在当时，“混沌”一词尚未被使用，但乌拉姆和冯·诺伊曼已经开始关注利用非线性函数生成复杂序列。在他们的报告中，乌拉姆和冯·诺伊曼还阐明，该映射与帐篷映射在拓扑上是共轭的，并且可以得出该映射序列的不变测度。
他们指出，伪随机数可以通过对类似[math]f(x)[/math]的二次函数进行反复复合来生成。事实上，这个方程正是{{EquationNote|(1)}}式对应于参数[math]\mu=4[/math]时候的情形。在当时，“混沌”一词尚未被使用，但乌拉姆和冯·诺伊曼已经开始关注利用非线性函数生成复杂序列。在他们的报告中，乌拉姆和冯·诺伊曼还阐明，该映射与帐篷映射在拓扑上是共轭的，并且可以得出该映射序列的不变测度。