更改

因为<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和<math>Σ^{−1}</math>都是对称矩阵，所以我们可以得到如下SVD分解：

因为<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和<math>Σ^{−1}</math>都是对称矩阵，所以我们可以得到如下SVD分解：

<blockquote>

<blockquote>

<math>A^T\Sigma^{-1}A=U_{f}SU_{f}^T

<math>A^T\Sigma^{-1}A=U_{b}SU_{b}^T

</math>

</math>

</blockquote>

</blockquote>

和

和

<blockquote>

<blockquote>

<math>\Sigma^{-1}=U_{b}KU_{b}^T

<math>\Sigma^{-1}=U_{f}KU_{f}^T

</math>

</math>

</blockquote>

</blockquote>

其中<math>S={\rm diag}(s_1,\cdots,s_n)</math>和<math>K={\rm diag}(\kappa_i,\cdots,\kappa_n)</math>分别是奇异值<math>s_1\geq\cdots\geq s_n</math>和<math>\kappa_1\geq\cdots\geq \kappa_n</math>组成的对角矩阵，奇异向量矩阵<math>U_{f}</math>和<math>U_{b}</math>分别包含了正向动力学（forward）和逆向动力学（backward）两组奇异值对应的奇异向量，它们也可以被分别看成两个生成空间的正交基。值得一提的是，因为<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和<math>Σ^{−1}</math>都是对称正定的矩阵，所以这里的SVD分解等价于特征值分解，<math>S</math>和<math>K</math>是特征值矩阵，<math>U_{f}</math>和<math>U_{b}</math>是特征向量构成的向量组。

其中<math>S={\rm diag}(s_1,\cdots,s_n)</math>和<math>K={\rm diag}(\kappa_i,\cdots,\kappa_n)</math>分别是奇异值<math>s_1\geq\cdots\geq s_n</math>和<math>\kappa_1\geq\cdots\geq \kappa_n</math>组成的对角矩阵，奇异向量矩阵<math>U_{f}</math>和<math>U_{b}</math>分别包含了正向动力学（forward）和逆向动力学（backward）两组奇异值对应的奇异向量，它们也可以被分别看成两个生成空间的正交基。值得一提的是，因为<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和<math>Σ^{−1}</math>都是对称正定的矩阵，所以这里的SVD分解等价于特征值分解，<math>S</math>和<math>K</math>是特征值矩阵，<math>U_{f}</math>和<math>U_{b}</math>是特征向量构成的向量组。

随后我们构造新的特征值<math>\tilde{S}={\rm diag}(\tilde{s}_1,\cdots,\tilde{s}_{2n})</math>对角矩阵与合并的特征向量组<math>\tilde{U}=(\tilde{u}_1,\cdots,\tilde{u}_{2n})</math>，其中<math>\tilde{s}_1\geq\cdots\geq\tilde{s}_{2n}</math>刚好是<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和<math>Σ^{−1}</math>的所有特征值共同从大到小排列后产生的新特征值谱，<math>\tilde{U}=(\tilde{u}_1,\cdots,\tilde{u}_{2n})</math>是<math>U_{f}</math>和<math>U_{b}</math>中与<math>\tilde{s}_1\geq\cdots\geq\tilde{s}_{2n}</math>对应的奇异向量。

随后我们构造新的特征值<math>\tilde{S}={\rm diag}(\tilde{s}_1,\cdots,\tilde{s}_{2n})</math>对角矩阵与合并的特征向量组<math>\tilde{U}=(\tilde{u}_1,\cdots,\tilde{u}_{2n})</math>，其中<math>\tilde{s}_1\geq\cdots\geq\tilde{s}_{2n}</math>刚好是<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和<math>Σ^{−1}</math>的所有特征值共同从大到小排列后产生的新特征值谱，<math>\tilde{U}=(\tilde{u}_1,\cdots,\tilde{u}_{2n})</math>是<math>U_{f}</math>和<math>U_{b}</math>中与<math>\tilde{s}_1\geq\cdots\geq\tilde{s}_{2n}</math>对应的特征向量。

给定阈值<math>\epsilon</math>，在第一步中，我们规定大于<math>\epsilon</math>的<math>\tilde{s}_i</math>数量为<math>r_{\epsilon0}</math>。在抛弃掉所有小于阈值的特征值和对应的特征向量后，我们得到

给定阈值<math>\epsilon</math>，在第一步中，我们规定大于<math>\epsilon</math>的<math>\tilde{s}_i</math>数量为<math>r_{\epsilon0}</math>。在抛弃掉所有小于阈值的特征值和对应的特征向量后，我们得到