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第244行： − − \documentclass[12pt]{article} − \usepackage[utf8]{inputenc} − \usepackage[T1]{fontenc} − \usepackage{amsmath, amssymb, amsthm} − \usepackage{graphicx} − \usepackage{xcolor} − \usepackage{enumitem} − \usepackage[top=2cm, bottom=2cm, left=2cm, right=2cm]{geometry} − \setlength{\parindent}{0pt} − \setlength{\parskip}{1em} − \newcommand{\vecx}{\mathbf{x}} − \newcommand{\matA}{\mathbf{A}} − \newcommand{\matAt}{\tilde{\mathbf{A}}} − \newcommand{\matU}{\mathbf{U}} − \newcommand{\matV}{\mathbf{V}} − \newcommand{\matS}{\mathbf{\Sigma}} − \newcommand{\matPhi}{\mathbf{\Phi}} − \newcommand{\matW}{\mathbf{W}} − \newcommand{\matL}{\mathbf{\Lambda}} − \newcommand{\matX}{\mathbf{X}} − \newcommand{\matXp}{\mathbf{X'}} − \newcommand{\hermitian}{^*} − − \title{动态模分解 (DMD) 算法详解 \\ {\large 基于 Koopman 理论}} − \author{小白指南} − \date{} − − \begin{document} − − \maketitle − − \section{核心思想：Koopman 算子} − − Koopman 算子提供了一个分析非线性动力学的革命性视角： − − \begin{itemize} − \item \textbf{传统视角：} 直接观察系统状态 $\vecx(t)$ 的演化，其动力学通常是非线性的：$\vecx_{k+1} = f(\vecx_k)$。 − \item \textbf{Koopman 视角：} 不直接看状态本身，而是去观察系统的\textbf{观测函数} $g(\vecx)$。在这个由观测函数张成的无限维空间上，系统的演化是\textbf{线性的}，由一个线性算子 $\mathcal{K}$（即 Koopman 算子）描述： − \[ − \mathcal{K} g(\vecx_k) = g(f(\vecx_k)) = g(\vecx_{k+1}) − \] − \end{itemize} − − 动态模分解 (DMD) 是 Koopman 算子的一种数据驱动的、有限维近似方法。 − − \section{DMD 算法详细步骤} − − 假设我们有一系列按时间排列的数据快照 $\{\vecx_1, \vecx_2, \dots, \vecx_{m+1}\}$，其中 $\vecx_k \in \mathbb{R}^n$。目标是找到一个矩阵 $\matA$ 使得 $\vecx_{k+1} \approx \matA \vecx_k$。 − − \subsection{步骤 1：组建数据矩阵} − 构建两个数据矩阵： − \[ − \matX = [\vecx_1\ \vecx_2\ \cdots\ \vecx_m], \quad \matXp = [\vecx_2\ \vecx_3\ \cdots\ \vecx_{m+1}] − \] − 目标关系为： − \[ − \matXp \approx \matA \matX − \] − − \subsection{步骤 2：奇异值分解 (SVD)} − 对矩阵 $\matX$ 进行截断的 SVD（取秩 $r$）： − \[ − \matX \approx \matU_r \matS_r \matV_r\hermitian − \] − 其中 $\matU_r \in \mathbb{R}^{n \times r}$, $\matS_r \in \mathbb{R}^{r \times r}$, $\matV_r \in \mathbb{R}^{m \times r}$，且 $\matU_r\hermitian \matU_r = \matV_r\hermitian \matV_r = \mathbf{I}_r$。 − − \subsection{步骤 3：在降维空间计算 $\matAt$} − 将高维算子 $\matA$ 投影到 SVD 得到的低维空间上，得到简化算子 $\matAt$： − \[ − \matAt = \matU_r\hermitian \matA \matU_r = \matU_r\hermitian \matXp \matV_r \matS_r^{-1} − \] − $\matAt \in \mathbb{R}^{r \times r}$ 是 $\matA$ 的低秩近似。 − − \subsection{步骤 4：特征分解} − 求解简化系统 $\matAt$ 的特征值和特征向量： − \[ − \matAt \matW = \matW \matL − \] − 其中 $\matL$ 是对角矩阵，其对角线元素为特征值 $\lambda_i$，$\matW$ 的列是对应的特征向量。 − − \subsection{步骤 5：重建 DMD 模式} − 将降维空间的特征向量 $\matW$ 映射回原始状态空间，得到 DMD 模式 $\matPhi$： − \[ − \matPhi = \matXp \matV_r \matS_r^{-1} \matW − \] − $\matPhi$ 的每一列是一个 DMD 模式，代表了数据中一种特定的空间结构。 − − \subsection{步骤 6：预测与重构} − 任何时刻的状态可由 DMD 模式的线性组合来重构： − \[ − \vecx_k \approx \matPhi \matL^{k-1} \vecb − \] − 其中振幅向量 $\vecb$ 由初始条件确定：$\vecb = \matPhi^{\dagger} \vecx_1$（$^{\dagger}$ 表示 Moore-Penrose 伪逆）。 − − \section{简单示例：叠加正弦波} − − 考虑一个一维信号，由两个衰减正弦波叠加而成： − \[ − x(t) = 2 e^{-0.1 t} \sin(2\pi \cdot 1 \cdot t) + 0.5 e^{-0.5 t} \sin(2\pi \cdot 5 \cdot t) − \
→动力学模式分解（DMD）
动力学模式分解是对Koopman模式分解的一种近似。这意味着，DMD的特征值将近似Koopman算子的特征值，DMD中的模式将近似Koopman算子的模式，DMD中的振幅将近似Koopman算子特征函数在初始条件下的取值。
动力学模式分解是对Koopman模式分解的一种近似。这意味着，DMD的特征值将近似Koopman算子的特征值，DMD中的模式将近似Koopman算子的模式，DMD中的振幅将近似Koopman算子特征函数在初始条件下的取值。
==扩展DMD==
==扩展DMD==