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在动力系统研究中，Koopman算子理论通过将非线性系统全局线性化，为分析复杂动力学行为提供了强大框架，但传统方法如扩展动态模式分解（EDMD）面临谱污染、连续谱处理不足和高维挑战等局限。残差动态模式分解（ResDMD）通过引入残差计算机制，构建Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>及其伴随算子与自身的乘积<math>\mathcal{K}^* \mathcal{K}</math>的[[Galerkin近似]]，有效区分真实特征值与伪特征值，从根本上解决了EDMD因有限维假设和离散化误差导致的谱失真问题。

在动力系统研究中，Koopman算子理论通过将非线性系统全局线性化，为分析复杂动力学行为提供了强大框架，但传统方法如扩展动态模式分解（EDMD）面临谱污染、连续谱处理不足和高维挑战等局限。残差动态模式分解（ResDMD）通过引入残差计算机制，构建Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>及其伴随算子与自身的乘积<math>\mathcal{K}^* \mathcal{K}</math>的[[Galerkin近似]]，有效区分真实特征值与伪特征值，从根本上解决了EDMD因有限维假设和离散化误差导致的谱失真问题。

===理论===

===理论===

给定一组观测函数字典<math>\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\} \subset D(\mathcal{K})\)（\(D(\mathcal{K})</math>为<math>\mathcal{K}</math>的定义域），EDMD 的目标是在子空间<math>V_{N_K} = \text{span}\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\}</math>上近似<math>\mathcal{K}</math>的作用，即满足：

给定一组观测函数字典<math>\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\} \subset D(\mathcal{K})(D(\mathcal{K})</math>为<math>\mathcal{K}</math>的定义域），EDMD 的目标是在子空间<math>V_{N_K} = \text{span}\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\}</math>上近似<math>\mathcal{K}</math>的作用，即满足：

<math>[\mathcal{K}\psi_j](\boldsymbol{x}) = \psi_j(F(\boldsymbol{x})) \approx \sum_{i=1}^{N_K} (K_{\text{EDMD}})_{ij} \psi_i(\boldsymbol{x}), \quad 1 \leq j \leq N_K.</math>

<math>[\mathcal{K}\psi_j](\boldsymbol{x}) = \psi_j(F(\boldsymbol{x})) \approx \sum_{i=1}^{N_K} (K_{\text{EDMD}})_{ij} \psi_i(\boldsymbol{x}), \quad 1 \leq j \leq N_K.</math>

定义向量值特征映射<math>\Psi(\boldsymbol{x}) = [\psi_1(\boldsymbol{x}), \dots, \psi_{N_K}(\boldsymbol{x})] \in \mathbb{C}^{1 \times N_K}</math>，则子空间<math>V_{N_K}</math>中的任意观测函数g可表示为<math>g(\boldsymbol{x}) = \sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(\boldsymbol{x}) g_j = \Psi(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{g}</math>（其中<math>\boldsymbol{g} \in \mathbb{C}^{N_K}</math>为系数向量）。由此可将库普曼算子对g的作用分解为：

定义向量值特征映射<math>\Psi(\boldsymbol{x}) = [\psi_1(\boldsymbol{x}), \dots, \psi_{N_K}(\boldsymbol{x})] \in \mathbb{C}^{1 \times N_K}</math>，则子空间<math>V_{N_K}</math>中的任意观测函数g可表示为<math>g(\boldsymbol{x}) = \sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(\boldsymbol{x}) g_j = \Psi(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{g}</math>（其中<math>\boldsymbol{g} \in \mathbb{C}^{N_K}</math>为系数向量）。由此可将库普曼算子对g的作用分解为：

<math>[\mathcal{K}g](\boldsymbol{x}) = \Psi(F(\boldsymbol{x})) \boldsymbol{g} = \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g}) + \underbrace{\sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(F(\boldsymbol{x})) g_j - \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g})}_{r(g, \boldsymbol{x})}.</math>

<math>[\mathcal{K}g](\boldsymbol{x}) = \Psi(F(\boldsymbol{x})) \boldsymbol{g} = \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g}) + \underbrace{\sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(F(\boldsymbol{x})) g_j - \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g})}_{r(g, \boldsymbol{x})}.</math>

对于字典中任意观测函数<math>\phi_i \in \mathcal{O}</math>，其经 Koopman 算子演化后满足：<math>\mathcal{K}\phi_i(x) = \phi_i(F(x))</math>，由于<math>\mathbf{Z}</math>通常不是 Koopman 不变子空间（即 <math>\mathcal{K}\phi_i \notin \mathcal{V}_{\mathcal{O}}</math>），EDMD 的目标是寻找一个矩阵 <math>\mathcal{K}_{\text{EDMD}} \in \mathbb{C}^{p \times p}</math>\(\)，使得：<math>\mathcal{K}\phi_i(x) \approx \sum_{k=1}^p (\mathcal{K}_{\text{EDMD}})_{ki} \phi_k(x) \quad \forall x \in X</math>，故定义残差函数（量化近似误差）：

优化目标是最小化残差的加权 <math>L^2</math>范数（Modern 中数值近似场景的标准目标）：

<math>r_i(x) = \mathcal{K}\phi_i(x) - \sum_{k=1}^p (\mathcal{K}_{\text{EDMD}})_{ki} \phi_k(x)</math>

<math>\min_{\mathcal{K}_{\text{EDMD}}} \int_X \sum_{i=1}^p |r_i(x)|^2 d\mu(x)</math>。

===算法===

===算法===

下面介绍三个相关的算法，算法依托ResDMD的残差控制机制，避免谱污染，适用于非线性、混沌、高维等复杂动力系统，从特征对提取→伪谱估计→谱测度计算层层递进，覆盖不同谱分析需求。

下面介绍三个相关的算法，算法依托ResDMD的残差控制机制，避免谱污染，适用于非线性、混沌、高维等复杂动力系统，从特征对提取→伪谱估计→谱测度计算层层递进，覆盖不同谱分析需求。