更改

<math>[\mathcal{K}g](\boldsymbol{x}) = \Psi(F(\boldsymbol{x})) \boldsymbol{g} = \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g}) + \underbrace{\sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(F(\boldsymbol{x})) g_j - \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g})}_{r(g, \boldsymbol{x})}.</math>

<math>[\mathcal{K}g](\boldsymbol{x}) = \Psi(F(\boldsymbol{x})) \boldsymbol{g} = \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g}) + \underbrace{\sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(F(\boldsymbol{x})) g_j - \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g})}_{r(g, \boldsymbol{x})}.</math>

优化目标是最小化残差的加权 <math>L^2</math>范数（Modern 中数值近似场景的标准目标）：

通常情况下，<math>\displaystyle{ V_{N_K} }[/math]并非<math>\displaystyle{ \mathcal{K} }</math>的不变子空间，因此不存在能使<math>\displaystyle{ r(g, \boldsymbol{x} }</math>对所有<math>\displaystyle{ g \in V_{N_K} }</math>和均为零的<math>\displaystyle{ K_{\text{EDMD}} }</math>。此时，EDMD 通过最小化 “残差项<math>\displaystyle{ r(g, \boldsymbol{x}) }</math>的积分范数” 确定<math>\displaystyle{ K_{\text{EDMD}} }</math>，即求解以下优化问题：

 

<math>\displaystyle{ \arg\min_{B \in \mathbb{C}^{N_K \times N_K}} \left\{ \int_{\Omega} \max_{\substack{g \in \mathbb{C}^{N_K}, \\ \|\boldsymbol{g}\|=1}} |r(g, \boldsymbol{x})|^2 d\omega(\boldsymbol{x}) = \int_{\Omega} \|\Psi(F(\boldsymbol{x})) - \Psi(\boldsymbol{x}) B\|_{\ell^2}^2 d\omega(\boldsymbol{x}) \right\} }</math>

<math>\min_{\mathcal{K}_{\text{EDMD}}} \int_X \sum_{i=1}^p |r_i(x)|^2 d\mu(x)</math>。

其中 “<math>\displaystyle{ \dagger }</math>” 表示伪逆，<math>\displaystyle{ W = \text{diag}(w_1, \dots, w_M) }</math>（对角权重矩阵），和<math>\displaystyle{ \Psi_Y }</math>为矩阵，即，

<math>\displaystyle{ \Psi_X = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{x}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{x}^{(M)}) \end{pmatrix}, \quad \Psi_Y = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{y}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{y}^{(M)}) \end{pmatrix} }</math>

故对于<math>\displaystyle{ \mathcal{K} }</math>的候选特征对 （<math>\displaystyle{ \lambda }</math>是候选特征值，是基于字典的候选特征函数，是系数向量），残差定义为：

===算法===

===算法===

二、ResDMD计算ε-伪谱估计算法：扩展算法2的功能，计算Koopman算子的<math>\epsilon</math>-伪谱，弥补特征值无法反映的非正规算子暂态行为和谱分布信息。

二、ResDMD计算ε-伪谱估计算法：扩展上个算法的功能，计算Koopman算子的<math>\epsilon</math>-伪谱，弥补特征值无法反映的非正规算子暂态行为和谱分布信息。

输入：

输入：

<math>F(x) = \exp(-\alpha x^2) + \beta</math>

<math>F(x) = \exp(-\alpha x^2) + \beta</math>

式中，<math>\alpha=2</math>控制指数项的非线性强度，使系统呈现明显的分岔行为，避免动力学过于简单；<math>\beta=-1-\exp(-\alpha)</math>，该取值通过抵消指数项的取值范围，确保系统状态在<math>[-1,0]</math>区间内稳定演化，同时诱导出从周期到分岔的过渡模式。映射的状态空间限制为<math>\Omega=[-1,0]</math>，采用标准勒贝格测度（Lebesgue measure）<math>\omega</math>描述状态分布，符合低维动力系统的常见测度选择，且便于计算 inner product。

式中，<math>\alpha=2</math>；<math>\beta=-1-\exp(-\alpha)</math>。映射的状态空间限制为<math>\Omega=[-1,0]</math>，采用标准勒贝格测度（Lebesgue measure）<math>\omega</math>描述状态分布。

观测字典设计为准确刻画系统的非线性动力学，实验选用 “移植到<math>[-1,0]</math>区间的勒让德多项式” 作为观测字典，具体形式为：

观测字典用<math>[-1,0]</math>区间的勒让德多项式，具体形式为：

<math>\psi_j(x) = c_j P_j(2x+1)</math>

<math>\psi_j(x) = c_j P_j(2x+1)</math>

其中：<math>P_j</math>为j次勒让德多项式（在标准区间<math>[-1,1]</math>上正交，适合逼近光滑函数，且计算复杂度低）；<math>2x+1</math>线性变换将原区间<math>[-1,0]</math>映射到勒让德多项式的标准区间<math>[-1,1]</math>，确保基函数的正交性在目标区间内成立；<math>c_j</math>为归一化系数，使字典在<math>L^2(\Omega, \omega)</math>空间内满足<math>\langle \psi_i, \psi_j \rangle = \delta_{ij}</math><math>(\delta_{ij}</math>为克罗内克函数），减少基函数间的冗余干扰。实验中固定字典规模<math>N_K=40</math>，既保证对非线性动力学的逼近精度，又避免因字典过大导致的计算复杂度激增。

其中：<math>P_j</math>为j次勒让德多项式（在标准区间<math>[-1,1]</math>上正交，适合逼近光滑函数，且计算复杂度低）；<math>2x+1</math>线性变换将原区间<math>[-1,0]</math>映射到勒让德多项式的标准区间<math>[-1,1]</math>，确保基函数的正交性在目标区间内成立；<math>c_j</math>为归一化系数，使字典在<math>L^2(\Omega, \omega)</math>空间内满足<math>\langle \psi_i, \psi_j \rangle = \delta_{ij}</math><math>(\delta_{ij}</math>为克罗内克函数），减少基函数间的冗余干扰。实验中固定字典规模<math>N_K=40</math>。

实验数据为快照对<math>{(x^{(j)}, y^{(j)})\}_{j=1}^M</math>，其中<math>(y^{(j)}=F(x^{(j)})</math>（F为高斯迭代映射），<math>x^{(j)}</math>的采样方式与权重随积分规则变化，共测试 4 类典型积分规则：

实验数据为快照对<math>{(x^{(j)}, y^{(j)})\}_{j=1}^M</math>，其中<math>(y^{(j)}=F(x^{(j)})</math>（F为高斯迭代映射），<math>x^{(j)}</math>的采样方式与权重随积分规则变化，共测试 4 类典型积分规则：