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第807行：
第807行： − Bettencourt等人在2007年的研究得出了城市的生长方程，表明规模法则在城市中同样适用，只是生物体随着体重增大会导致新陈代谢以较慢的速度生长，而城市的超线性规模法则会使城市的新陈代谢率随其规模增大而以更快的速度生长。+ 第871行：
第871行： − + − 然而这种超指数增长不可持续，因为方程将在有限时间 [math]t_c[/math] 处触达奇点。当城市接近有限时间奇点时，会发生崩塌，此时出现 [math]N < {(\frac{R}{Y_{0}})^{\frac{1}{\beta-1}}}[/math] 的情况。这可能是由于：+ − - 人口锐减：实际人口规模下降+ − - 方程中的系数变化：系统参数发生改变+ − + − 为了避免系统性崩溃，城市必须进行"重大质变"，也就是通过创新来重置系统参数。重置过程包括两个方面：+ − − 1. 重置初始条件：调整初始人口规模 [math]N_0[/math] − 2. 重置方程系数：这是更重要的环节，需要重置系数： − − − 第900行：
第894行： − +
→城市生长方程
== 城市生长方程 ==
== 城市生长方程 ==
Bettencourt等人在2007年的研究<ref name=":3" />得出了城市的生长方程，表明规模法则在城市中同样适用，只是生物体随着体重增大会导致新陈代谢以较慢的速度生长，而城市的超线性规模法则会使城市的新陈代谢率随其规模增大而以更快的速度生长。
=== 核心方程 ===
=== 核心方程 ===
真实的城市增长，会在繁荣与崩溃二者之间切换。即当初期，满足条件[math]N >{(\frac{R}{Y_{0}})^{\frac{1}{\beta-1}}}[/math]的时候，城市进入超指数（super-exponential）增长曲线，并在一个有限时间 [math]t_c[/math] 处发散（即'''有限时间奇点'''(finite time singularity)）。这个 [math]t_c[/math] 被称为“奇点时间”或“崩溃时间”。这个 [math]t_c[/math] 的值由以下公式近似得出：[math]t_{c} \approx [\frac{E}{(\beta-1)R}]\frac{1}{N^{\beta-1}(0)}[/math]
真实的城市增长，会在繁荣与崩溃二者之间切换。即当初期，满足条件[math]N >{(\frac{R}{Y_{0}})^{\frac{1}{\beta-1}}}[/math]的时候，城市进入超指数（super-exponential）增长曲线，并在一个有限时间 [math]t_c[/math] 处发散（即'''有限时间奇点'''(finite time singularity)）。这个 [math]t_c[/math] 被称为“奇点时间”或“崩溃时间”。这个 [math]t_c[/math] 的值由以下公式近似得出：[math]t_{c} \approx [\frac{E}{(\beta-1)R}]\frac{1}{N^{\beta-1}(0)}[/math]
然而这个增长不可持续，因为方程将在有限时间内触达，为了避免这种危机，城市必须进行“重大质变”，也就是通过创新来“重置”初始条件[math]N[/math]和参数[math]Y_0,R,E[/math]，以使得[math]N <{(\frac{R}{Y_{0}})^{\frac{1}{\beta-1}}}[/math]条件得到满足。这种创新活动确保了城市的主导动力仍然处于“财富和知识创造”的超线性增长阶段。历史上，当人类社会发生重大技术越迁正可以对应这种情况。这样，为了避免崩溃，城市必须在接近奇点时间 [math]t_c[/math] 时引入新的创新周期。每一次新的创新都有效地重置了增长参数，开启了一个新的超线性增长周期。
<nowiki>然而这个增长不可持续，因为方程将在有限时间内触达，为了避免这种危机，城市必须进行“重大质变”，也就是通过创新来“重置”初始条件[math]N[/math]和参数[math]Y_0,R,E[/math]，以使得[math]N <{(\frac{R}{Y_{0}})^{\frac{1}{\beta-1}}}[/math]条件得到满足。这种创新活动确保了城市的主导动力仍然处于“财富和知识创造”的超线性增长阶段。历史上，当人类社会发生重大技术越迁正可以对应这种情况。这样，为了避免崩溃，城市必须在接近奇点时间 [math]t_c[/math] 时引入新的创新周期。每一次新的创新都有效地重置了增长参数，开启了一个新的超线性增长周期。重置过程包括两个方面：</nowiki>
* 重置初始条件：调整初始人口规模 [math]N_0[/math]
* 重置方程系数：这是更重要的环节，需要重置系数：
** [math]Y_0[/math]：归一化常数，代表城市的单人产出
** [math]r[/math]：规模法则幂律指数相关参数
** [math]e[/math]：维持每个个体平均所需的资源量
* [math]y_0[/math]：归一化常数，代表城市的单人产出
* [math]r[/math]：规模法则幂律指数相关参数
* [math]e[/math]：维持每个个体平均所需的资源量
人们通过社会治理、创新等机制重置这些系数，使得条件 [math]N > {(\frac{R}{Y_{0}})^{\frac{1}{\beta-1}}}[/math] 重新得到满足，从而开启新一轮的超线性增长周期。历史上，人类社会发生重大技术跃迁时，正是对应这种重置机制。
人们通过社会治理、创新等机制重置这些系数，使得条件 [math]N > {(\frac{R}{Y_{0}})^{\frac{1}{\beta-1}}}[/math] 重新得到满足，从而开启新一轮的超线性增长周期。历史上，人类社会发生重大技术跃迁时，正是对应这种重置机制。
====不可回避的奇点====
====不可回避的奇点====
虽然通过重置系数可以暂时避免崩溃并开启新的增长周期，但一个关键的结论是：'''为了维持持续增长，创新周期之间的时间间隔必须不断缩短'''。这是因为根据奇点时间公式 [math]t_{c} \propto \frac{1}{N^{\beta-1}}(0)[/math] ，当初始人口 [math]N_0[/math] 增加时，达到下一次崩溃的时间 [math]t_c[/math] 会变短。因此，新的重大创新或适应措施必须以不断加速的速率出现，才能维持城市的增长。
虽然通过重置系数可以暂时避免崩溃并开启新的增长周期，但一个关键的结论是：'''为了维持持续增长，创新周期之间的时间间隔必须不断缩短'''<nowiki>。这是因为根据奇点时间公式 [math]t_i \propto t_c \approx \frac{1}{N_i(0)^{\beta-1}}(0)[/math] ，当初始人口 [math]N_0[/math] 增加时，达到下一次崩溃的时间 [math]t_c[/math] 会变短。因此，新的重大创新或适应措施必须以不断加速的速率出现，才能维持城市的增长。</nowiki>
于是，随着N持续增长，必然会导致[math]t_c[/math]变得越来越短，最终当[math]t_c\rightarrow 0[/math]的时候，城市便遭遇了'''不可回避的奇点（Unavoidable singularity）'''。在这一点，人们将不能通过重置系数而进入新的增长轨迹。
于是，随着N持续增长，必然会导致[math]t_c[/math]变得越来越短，最终当[math]t_c\rightarrow 0[/math]的时候，城市便遭遇了'''不可回避的奇点（Unavoidable singularity）'''。在这一点，人们将不能通过重置系数而进入新的增长轨迹。